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极限发展历程总结
篇一:极限思想的起源
总结
极限理论是分析数学中的一个重要工具，而极限思想就是极限理论的提炼和表现形式。它是联系微分学、积分学的桥梁，也是处理初等数学问题中所不能解决的理论和思路的出发点，而且极限思想的学习已经纳入为高中教学知识点的重点和难点，从这一方面也能看出极限思想的重要性。从现代素质教学的标准要求下，对于新知识的掌握的衡量标准和价值评判水平的角度，已经不再是只对结果和结论的获得，而是在于过程的探索和理论渊源的理解，以及知识掌握的广度，应用的灵活度，所以对于极限思想的掌握我们应该知其然，知其所以然，去探究它的起源、发展过程。真正的理解它的内涵，也是为以后解决实际问题提供清新的思路和迁移的能力。
本文通过深入理解前人研究的思想方法的来历，自己加以整理、分类总结，并结合对高中数学对极限思想的学习难度，建立了以故事串通的方式，合理地联想到理论相关的知识，希望在解题中运用极限思想方法，顺利解答疑难问题。同时再结合已有的思想方法，投入分析思想方法的来历、应用的规律，又可以再次与解题的过程相结合并在这一过程中进行深化，使之理论、实践、应用升华能融为一体，这就是本文的出发点和落脚点。
极限思想及应用
篇二:极限思想的起源
本科毕业论文（设计
极限思想及其应用
学生姓名 ： 孙金龙
学号 ： 系部 ： 应用数学系
专业 ： 金融数学
指导教师 ： 刘炎
提交日期 ： 2011年3月21日
）
毕业论文基本要求
1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。
2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。
3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。
4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。
5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。
本科毕业论文（设计）诚信声明
本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学生签名：
时间： 年 月 日
关于论文（设计）使用授权的说明
本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：
1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；
2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务；
3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 本人同意上述规定。
学生签名：
时间： 年 月 日
摘 要
极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。
极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。
其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程作出初步的探索和分析。
[关键词]：极限思想；应用；微积分；经济学
Abstract Limit thought as a mathematical idea of the mankind from the ancient to the present limits of the full theory of the evolution of its long and tortuous journey filled with hard work of many mathematicians, intelligence, conscientiousness and pursued the struggle footprint. Limit the evolution of thought process that is thousands of years of human knowledge and transform the world's response to one aspect of the process, the human pursuit of truth, the pursuit of ideals, always realistic, vivid portrayal of innovation.
Limit the production and improvement of ideological and social needs of practice, it produces for the development of mathematics has added a new impetus, as the ideas and methods of modern mathematics foundation and starting point. Theoretical limit of thought is the basis of calculus, and calculus and economics, physics, mechanical and automation disciplines and daily life are inseparable. Especially in economics, is a look at the nature of the phenomenon through the essential tools, the core of economics, the word "marginal" is one of the guide number of economic concepts. Only the combination of calculus and other mathematical knowledge, to make economics the surface from a mere superficial knowledge of the phenomenon of reasoning, superficial subject, into a scientific approach to mathematical analysis, combined with extensive knowledge of the social sciences, to analyze the deep-seated, more widespread application of the basic conclusions of the subjects.
The same is same in other disciplines, limit the application of nowhere, without thinking, understanding and rational application of control limits to thought, allows us to solve practical problems in the process, can quickly find solutions to the problem and improve the practical results. In this paper the limits on the use of mathematical ideas in various disciplines to solve practical problems in the thinking process to make a preliminary exploration and analysis.
[Key Words]：Limit thought；Application；Calculus；Economics
广义相对论的思想起源
篇三:极限思想的起源
广义相对论的思想起源
在狭义相对论中，自然定律在所有的惯性系中都保持着不变的形式。然而，这种理论却依然留下了两个疑难：l）引力定律不能被纳人狭义相对论的体系之中；2）惯性系不是宇宙中的真实存在。这两大疑难被爱因斯坦描述为狭义相对论“固有的认识论上的缺陷”。毫无疑问，这些缺陷构成了广义相对论的“科学问题”。
第一节 马赫和马赫原理
尽管狭义相对论完全废除了以太概念，即电磁运动的绝对空间，但却仍然没有对经典力学把绝对空间当作世界的绝对惯性结构的理由做出解释，也没有为具有绝对惯性结构的力学提供新的替换。也就是说，惯性系的存在，对于力学和电磁学都是必不可少的。
狭义相对论紧紧地依赖于惯性参考系。它们在自然界中确立了“特权阶级”。它们是一切非加速度的标准；它们使一切物理定律的形式表达实现了最简化。惯性系的这种特权在很长时间里保持着一种神秘性。广义相对论阐明了这种“特权”的局限性。
经常有人说，为了满足狭义相对论而修改牛顿引力（平方反比）理论的失败，导致了广义相对论的兴起。的确，广义相对论是现代引力理论。如果不是日常计算实践的需要的话，在原理上它已经取代了牛顿的引力理论。不过，有一点很清楚，爱因斯坦是出于一种哲学欲望才把绝对空间彻底地从物理学中清除出去的。自一开始，狭义相对论就把惯性系当作一种当然的存在。可能，爱因斯坦本来也不反对（但也不怎么满意）在狭义相对论基础上建立的引力论。由此，爱因斯坦不得不超越狭义相对论。极限思想的起源。
在这一工作中，他十分诚恳地反复强调，他得益于物理学家兼哲学家马赫（Ernst Mach， 1836～1916）的思想。
爱因斯坦说：“事实是，马赫曾经以其历史的批判的著作①对我们这一代自然科学家起过巨大的影响，在这些著作中，他以深切的感情注意各门科学的成长，追踪这些领域中起开创作用的研究工作者，一直到他们的内心深处。我甚至相信，那些自命为马赫的反对派的人，可以说几乎不知道他们曾经如同吸取他们母亲的乳汁那样吮吸了多少马赫的思维方式。”
“没有人能够否认，那些认识论的理论家们曾为这一发展铺平了道路；从我自己来说，我至少知道：我曾经直接地或间接地特别从体馍和马赫那里受到莫大的启发。”
也许可以公正地反过来说，马赫应该感谢爱因斯坦，正是爱因斯坦对惯性的思索、研究并赋之以相对性观念，才使得马赫的科学思想和哲学思维方法大放异彩。
马赫（Ernst Mach， 1838～1916）是斯洛伐克物理学家、生理学家、心理学家和哲学家。②他14岁才上学，也许是世界著名科学家中人学年龄最大的一个。他的启蒙老师就是他的父亲。1860年，马赫获得维也纳大学的博士学位，然后又在这所大学执教4年。他的第一篇论文是以实验支持多普勒定律。这篇文章反映了马赫坚持传统的物理学观点的倾向。他完全接受了物质的原子性分子理论和气体运动论。1864年，他移居到格拉兹（Graz）。从此，他的研究兴趣转向关于感觉的心理学和生理学。在格拉兹，他发现了现在称之为“马赫带”的光学现象。1867年，他在布拉格的查尔斯大学担任实验物理学教授，在超声研究方面做出了突出贡献。“马赫数”就是他的发现。马赫成为世界级的著名科学家兼哲学家，源自他的科学史和科学哲学研究。其中一项是关于知识理论的“思维经济原则”；另一项便是由爱因斯坦命名的“马赫原 理”。
马赫的知识理论认为，我们所接受的是感觉，经验客体（事物、物体，物质，等等）都是感觉的符号。科学的产生，源于把相当复杂的感觉世界用最经济的方式来满足自我接受的需要。根据这些观点，马赫反对把“实体”（如原子）作为一种存在来建构理论。按照“马赫准则”，理论只能由那些可观察的现象归纳出来的命题构成；“证据”必然与经验相联系。马赫的这些认识论观点，曾经受到过科学上无知的哲学家们粗俗的谩骂，正是这些谩骂使马赫的哲学蜚声世界。
马赫原理早在17世纪贝克莱主教的著作中就已经有了萌芽。大略地讲，马赫的惯性思想包括四个方面的内容：
1）空间本身并不是一种“事物”，它纯粹是物质间距离关系总体的抽象。
2）粒子的惯性是由这个粒子与宇宙中所有其他物质的相互作 用造成的。
3）局部的非加速度标准决定于宇宙中所有物质的平均运动。
4）力学中的所有物质都与所有物质存在相对运动。
由此，马赫写道：“„„如果我们认为地球在绕轴自转或处于静止状态，同时恒星在围绕着它公转，这都没有关系„„·惯性定律必定能证明，第二个假设和第一个假设得出的结果是精确地一致的。” 这大概是早在爱因斯坦之前马赫就把自己及其同伙称作“相对论者”的原因所在。
我们说地球在“自旋”，自旋的弹性球在赤道上会凸起来。但是，弹性球是怎么“知道”自旋必然导致凸起的呢？对于这个问题，牛顿的回答是，它“感受”到了绝对空间的运动；马赫的回答则是，变凸的弹性球“感受”到了宇宙物质在围绕它转。如下图所示：
对于牛顿来说，相对于绝对空间的旋转产生离心力。这种离心力完全不同于万有引力。对于马赫来说，离心力也是引力。它是由物质与物质之间的作用引起的。
爱因斯坦在走向广义相对论的进程中，曾经推测牛顿的平方反比理论可能与完全的引力理论存在许多差异，正像单纯建立在库仑定律基础之上的电学不同于麦克斯韦最后建立起来的电学理论一样。1953年，D。W。夏马（Sciama）复活并推广了19世纪天体力学家、勒维烈的学生提泽兰（F。 Tisserand，1845～1896）的一种麦克斯韦式的引力理论。并且发现，它大大地包括了马赫原理：惯性力对应于宇宙的弓怕“辐射场”，并与距离的一次方成反比。然而，不幸的是，这种理论在其他方面严重违背相对论。比如，在狭义相对论中，质量是随速度变化的；在麦克斯韦理论中，电荷却是不变的。还有，因为E—me’的关系式，物体的引力束缚能具有（负的）质量；这样，系统的总质量不可能等于部分的质量之和；而麦克斯韦理论中电荷（类比于质量）却是严格增加的。
爱因斯坦的广义相对论对惯性问题的解决，比麦克斯韦理论要复杂得多。然而，在“一级近似”上，它可化为牛顿理论；在“二级近似”上它则具有麦克斯韦特征。但是，说广义相对论是纯粹马赫主义的，学术界也还是有不同看法。不管怎样，有两点是值得注意的： i）马赫原理根植于经典运动学； n）它忽略了“场”作为空间的内容物。因之，马赫原理在现代物理学中的表达仍然是有问题的。对此，1973年曾有美国物理学家C。W。Misner，K。S。 Thorne和J。 A·Wheeler进行过讨论。
第二节 对“离心力”起源的两种解释
在一根绳子的一端拴上一只质量为m的小球，拽住绳的另一端圆圈式地甩动绳子，小球就会围绕着另一个端点做圆周运动。这时，我们会说，小球得到一种离心力。毫无疑问，此时小球所得到的离心力来自甩动。在宇宙中，类似的离心力似乎是永恒存在的，譬如行星的自转和公转。可是，它的“甩动力”源泉在哪里呢？
惠更斯和牛顿都研究过这种“离心力”。从数学的角度看，这些研究是完美的；但是从物理学的角度，“离心力”的起源又具有某种神秘性。比如，在地球与太阳的关系中，太阳是静止的，在地一日质量中心的连线上存在着引力。但是，地球的绕行表明，在其轨道的切线方向还存在一个“离心力”。这种“离心力”来自何方？它真的来自上帝的第一次推动吗？
牛顿把“离心力”的起源归结为绝对运动。在牛顿看来，凡是存在绝对运动的地方，必然存在着“离心力”；反之，凡是存在“离心力”的地方，必然存在绝对运动。牛顿用一个“水桶实验”证明了这种关系：
“试将一容器挂在一根很长的绳上，使容器频繁旋转，直到这根绳紧紧扭起。然后把客器装满水，并使其与水同处于静止状态。再后，利用另一力的突然作用，使容器作相反方向的旋转运动。当绳自行松扭时，容器会有一些时间继续进行这样的运动，水的表面开始是平静的，和容器开始运动之前一样。由于容器逐渐把它的运动传入水中，使水开始作明显的转动，一点一点地脱离其中心并上升到容器的边上，自己形成四形（如同我实验过的那样）。运动越快，水的上升越高。直到它的旋转和容器的旋转同步，它才终于相对地在容器中静止下来。水的这种上升表明它有力日脱“离其运动轴的倾向，而水的真正的、绝对的圆周运动（在这里是与其相对的圆周运动直接相反的）便自行展现出来了，并且可以用这种力囹脱离其运动轴的倾向作测量。开头，当水在容器中的相对运动达到最大时，它没有出现力图脱离运动轴的倾向：容忍中的水既没有趋向周边，也没有向缘壁上爬，而是在平面上体留着，所以它的真正的圆周运动尚未开始。
但是，随后，当水的相对运动减退时，它的缘壁上升就证明了它有力图脱离轴的倾向，该倾向又表明了水的真正的圆周运动不断地在增加着，直到水在容器中相对静止时，该运动才达到了最大值。由此可知，这种力四脱离运动轴的倾向不是水对其周围物体的任何平移所决定的，而真正的圆周运动同样不能用这种平移作出说明。任何一个转动着的物体，只有一种真正的团周运动起到独特的作用，它与力图脱离圆周运动轴的唯一动力相对应。”①
马赫对待牛顿的水桶实验是非常具有批判性的。爱因斯坦在摘录马赫的批判之后评价说：
“马赫已清楚地看出了古典力学的薄弱方面，而且离开提出广义相对论已经不远，而这一切是在几乎半个世纪之前的事情！”为了叙述得准确明白，以便于读者在马赫与爱因斯坦之间建立某种联想，在这里我OJ原原本本地抄录爱因斯坦的“摘录”如下：
“如果我们说，一个物体 K只能由于另一物体 K’的作用而改变它的方向和速度，那末，当我们用以判断物体K的运动的其它物体A，B，C，„„都不存在的时候，我们就根本得不到这样的认识。因此，我们实际上只认识到物体 K同A，B，C，„„，而要谈论物体K在绝对空间中的行为，那末我们就要犯双重错误。首先，在 A，B，C，„„不存在的情况下，我们就不能知道物体K将怎样行动；其次，我们也就因此而没有任何方法，可用以判断物体K的行为，并用以验证我们的论断。这样的论断固而也就 没有任何自然科学的意义。”
“一个物体K的运动总是只有在相对于别的物体A，B，C，„„时，才能加以判断。由于我们总是有一些数目上足够多而彼此相对静止的、或者其位置变化得很慢的物体可供使用，所以我们在这里不一定要去指定一个特定的物体，而是能够有时忽略这一物体，有时忽略那一物体。由此也就产生了这样的一种想法：这些物体根本都是一样的。”
“牛顿用转动的水桶所作的实验，只是告诉我们：水对桶＠＠相对转动并不引起显著的离。。力，而这离。。力是由水对地球的质量和其他天体的相对转动所产生的。如果桶壁愈来愈厚，念来台重，最后达到好几里厚时，那就没有人能说这实验会得出什么样的结果„„”
为了更清楚地说明马赫原理对离心力的解释，我们考虑以下表示地球一月球一宇宙关系的两个图，为方便起见，其中的宇宙只用一个质量壳层表示。a图代表一种传统观点；b图代表一种相对性等效的观点。根据马赫原理：“第二种假设导出的惯性定律精确地与第一种假设导出的惯性定律一致。”所以，旋转的宇宙必定能产生一种离心力人来抵抗地球的吸引力人，也正是这种力导致了地球赤道的凸起。宇宙也必定能产生科雷奥利力来对傅科摆的转动面形成一种连续的累积效应。要把a图的地球从静止状态变到沿某一给定方向的加速状态，必须要有某种力的存在。反过来，当宇宙对地球加速的时候，地球又需要一种力来维持它在宇宙中的静止状态。由此，推而广之，当一个粒子处在被加速粒子中间的时候，这个粒子必定会受到邻近被加速粒子的力，而且这个力是沿着加速度方向作用于这个粒子。——这就是宇宙间离心力的起源。可见，归根到底，离心力也是吸引力。
第三节 惯性质量与引力质量
在牛顿力学和牛顿引力理论中，有两个不同形式的“质量”概念。一个是惯性质量，它在牛顿第二定律中以力与加速度之比的形式出现：
F m＝
a
它是阻滞加速度形成的原因。另一个是引力质量，它也通常被用来与库仑力的电荷作类比，它出现在引力定律中：
。 urn，mo
r“
这个方程可被用来判定两个质量m；和m。之间引力的大小，G在这里是引力常数。
引力定律中有两个m，我们可以对它们作进一步的区分：一个是主动的引力质量，另一个是被动的引力质量。比如，m；吸引m。，我们称m；为主动的引力质量；反之，我们则称m。为主动的引力质量。这就是说，ml和m。具有独立产生牛顿引力场的能力。这样，根据作用力与反作用力的定律，牛顿万有引力公式实际上是对称的。主动的引力质量和被动的引力质量并没有本质的区别。物体引力场的独立性，使得
广义相对论只考虑主动的引力质量的场，不考虑被动的引力质量的场。
在做了这样的区分后，我们来看惯性质量和引力质量之间存在什么样的关系。
本书第二章我们曾经介绍亚里士多德的一种力学观点，“不同重量的物体即使是在相同的介质中也会有不同的自发运动速度。”伽利略用比萨斜塔上掉石头的实验，反驳了这种力学观点。实际上，按照亚里士多德的力学观点，逻辑上也会出现“两难”矛盾：把一块大石头与一块小石头用绳子连结起来，从一个高处扔下去，比单独扔大石头下去，哪种情况运动得快些？一方面，因为小瞩头比大石头下落得慢，小石头会拖大石头的后腿；另一方面小渭头的质量通过绳子与大石头的质量加在一起，会比单独扔大石头下降得快。由此推测，物体下落加速度与物体的质量无关。
根据牛顿力学和万有引力定律，我们可以用方程来描写任意物体自由下落状况：
umm
mff a— m引一二了一
式中，m。是石头的惯性质量；。。l是石头的引力质量，m。是地球的弓I力质量。厂是物体与地球之间的距离。把上面的关系式再变一下，写成：
msldUmwl＿
— ———l——l。
m①＼广J
由于G、m。、r、a都是固定的，所以，各种物体的引力质量与惯性质量之比必为一常数。即： 引力质量＿＿
台荒苦董一常数
惯性质量一”一
事实上，只要单位选择得当，引力质量等于惯性质量。简言之，重量等于质量。1889年，匈牙利物理学家厄击（ROI。nd＊OtVO8 1848～1919）在考察地球引力与地球转动的离心力的合力是否依赖于物质的问题时，在亿分之一的精确度量级上证实，惯性质量等于引力质量。1964年，普林斯顿大学的罗尔（ROll）在千亿分之一的精确度上进一步地证实了这一点。有人曾经问，原子束缚能，在考虑能与质量按E—me’的转换时，是否也满足这样的质量等效性。1910年，邵圣斯（Southerns）观察氧化铀和氧化铅的质量和重量之比证实，厄伍的结论对于能量的惯性定律也是可靠的。
不同物质的惯性质量和引力质量之比为一个常数似乎是非常明显的事实。但是，牛顿理论只把它当作偶然的公理来对待，并未给予任何解释。因为，牛顿理论完全用不着考虑这个问题。惯性质量与弓l力质量相等，究竟是偶然的还是必然的？经验上必然的事物，科学解释上却是偶然的，这显然是不合理的。如果科学能给它一个必然性的解释，则这个新理论一定比牛顿理论具有更大的优势。具有深速而敏锐科学洞察力的爱因斯坦找到了做出肯定性回答的钥匙。他说：
“古典力学有一个不能令人满意的方面：在它的基本定律中，同一个质量常数扮演着两个不同的角色，即运动定律中的‘惯性质量’和引力定律中的1力质量’。结果是，物体在纯引力场里的加速度同它的质料无关；或者说，在均匀加速的坐标系（相对于一个‘惯性系’是加达的）里，运动的情况就像在一个均匀的引力场（对于一个‘不动的’坐标系）里一样。如果人们假定，这两种情况的等效性是完全的，那就使我们的理论思考适应了引力质量同惯性质量相等这一事实。”①极限思想的起源。
第四节 “我一生中最幸福的思想”
狭义相对论，实现了两个相互均匀平移的坐标系之间自然定律的协变性，即匀速运动观察者所描述的自然定律与静止观察者所描述的自然定律具有等价性。这一相对性原理能否推广到非匀速运动参考系的观察者呢？
“弓I力”是常见而方便的非匀速运动的例子。在地球周围做力学实验都会发现有一种被叫做“弓怕”的客观存在物在起作用。比如，射出去的子弹会成弧线向下掉；失去支撑或拖曳的物体会自由下落。尽管没有人真正测出过引力，但大家都习惯性地用“引力”来解释这些现象。
引力只是一种现象呢，还是真有这种事物存在？我们来考虑这样一个理想实验：
一个阁式电梯间，当它置放在地球表面时，人们可以在电梯里做任何力学实验，并能看到所有有关引
力的现象，就像我们在任意房间里看到的引力现象一样（如图8—4）。假若我们去掉电梯周围的任何物质，让它以重力加速度g朝着某个引力中心运动。这时，生活在这个电梯里的人，体会不到电梯的运动。就好像地球上的人体会不到地球的高速运转一样。因为电梯在往上去，电梯里头的东西仿佛是在自发地往下掉，因此，生活在这个电梯里的人，也会类似于地球人那样，可以观察到引力现象，甚至一切非匀速运动参考系的力学运动都必然如此。由此，这只加速运动的实验电梯，就成了“无引力”的物理学实验室。在这个加速运动的电梯里边，引力只是现象，不是本质。
上述原理，就是爱因斯坦的等效原理。爱因斯坦是这样表述这个原理的：
“在均匀的引力场里，一切运动都像在不存在引力场时对于一个均匀加速的坐标系所发生的一样。” 假若这个加速运动的电梯非常大，相比而言，电梯中的人看上去就像生活在一个非常狭小的空间中，这时，他可以在这个空间中建立任意一种惯性系。这好比我们在教室里演示匀速运动一样，演示时，我们并没有“发觉”地球的非匀速性转动。通常，我们把这个人周围的狭小的空间叫做局部惯性系。惯性系中的物理运动，已经在狭义相对论中讨论过了。由此可见，狭义相对论只是一种局部可利用的理论。
1921年1月，爱因斯坦写了一篇没有发表过的文章，题目是《相对论发展初期的思想与方法》。这篇稿子因仍存放在纽约市皮尔庞特·摩根图书馆，所以俗称为“摩根手稿”。在这篇文献中，他写道：
“1907年，当我正为《放射学和电子学年鉴》撰写一篇关于狭义相对论的综合论文时，我不得不试图以这样一种方法修正牛顿的引力论，使引力定律符合狭义相对论。在这个方面的尝试的确表明这是可以做得到的，但我不满意，因为它们的基础是尚未建立的物理学假设。
然后，出现了我一生最幸福的思想，形式如下：引力场只是（以与电磁感应引起的电场相似的方式相对地存在）因为对于从屋顶自由降落的观察者来说——至少在他的直接环境中——没有引力场存在„„· 由于这种思想，在引力场中所有物体以同样的加速度降落这个非同寻常的特殊的实验定律，立即获得了深刻的物理意义。也就是说，如果在引力场中只要有一个物体与其他物体降落的方式不同，观察者借助于此能够认识到，他置身于引力场中，并且正在引力场中降落。如果这种物体不存在（极端精确的经验表明这一物体并不存在），那么，观察者就缺乏洞察自己在引力场中降落的任何客现方法。观察者反而可以有权认为自己的状态是一种静止状态，认为自己的环境是无引力场。
因此，落体加速度的独立性这一已知的实验本质是对这一事实的强有力的论据，即相对论假设不得不扩展到彼此相对作非匀速运动的坐标系中。”
第五节 光线弯曲和引力红移
由等效性原理可以得出两个非常有趣的预言：
第一、引力场中的光线弯曲。
考虑一个自由落体的小室，比如说竖直下降的电梯。再考虑光信号的闪烁与小室壁成90度的运动。根据等效性原理，小室里面的观察者将看见光信号走直线。由于光信号在它沿直线运动的过程中，电梯在做非均匀的加速运动。这样，光线就会相对于地球被弯曲成一条抛物线，就像打出去的子弹走抛物线那样（如图8一5）。这个推论的确是非常有意思的。当光线被看作是以有限速度传播的物理实在时，看起来，光就好像是“有重量”的物质。推而广之，仿佛所有以有限速度在惯性系中传播的现象都存在局部地被弯曲。照此看来，广义相对论所发现的就不只是有关光的新特性，而是在物质存在条件下的空间性质：在引力场中空间是弯曲的。如果空间本身是弯曲的，则所有自然界中的直线现象都。
因此在这条弯曲的“铁路”上走。
第二、引力“红移”现象。
现在，考虑当电梯小室往下掉时，一条光垂直地从天花板向地面传播。根据等效性原理，观察者A在小室的楼板上来观察这条射线，他看到的情形同静止在电梯小室外面的观察者B所看到的情形是一样的。在楼板与天花板之间看不到多普勒移动。但是，就在A观察到这条射线时，这个小室已经在运动。而且，相对于A而言，观察者是正对着光波朝上走。由于A看不到多普勒移动，B在观察这同一条光线时，就必然看到蓝移。这个推论为我们提供了一个说明。即反过来，光线将背对着引力场出现红移。这个结果，也可以经由普朗克的光子理论得出来。作为一个推论，如果我们把振动原子频率看作是一个“钟”，就必然会得出这样一个结论：低引力势地方的钟比高引力势地方的钟要慢些。这种现象就叫做“引力时间膨胀”。
中期报告,数学,极限思想的产生与发展,应用
篇四:极限思想的起源
目录
摘要： .............................................................................................................................................. 2
关键词 .............................................................................................................................................. 2
引言： .............................................................................................................................................. 2
1 极限思想的产生 ........................................................................................................................... 3
2 极限思想的发展 ........................................................................................................................... 4
3 极限思想的概念 ........................................................................................................................... 4
3.1 极限的现代定义 ................................................................................................................ 4
3.2 函数极限的性质 ................................................................................................................ 5
4 极限思想的应用 ........................................................................................................................... 6
4.1极限思想在开方方面中的应用 ......................................................................................... 6
4.2极限思想在求解某一点问题的应用 ................................................................................. 7
结论： .............................................................................................................................................. 8
参考文献........................................................................................................................................... 9
极限思想的产生﹑发展和应用
摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念及其应用。极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。本文最后探讨了极限思想在开方和求解某一点方面的应用。
关键词：极限； 产生； 发展； 应用
The Developmemt and Application Of Limit
Abstract: This paper discusses the emergence and development of the limits of thought, the concept and application of the limits of thought. The ultimate idea is Tolstoy text, Dutch mathematician, in the process of inspection triangle center of gravity to improve the method of exhaustion of the ancient Greeks, by means of geometric, bold use the thinking of extreme to solve problem, give up the reductio ad absurdum proof, and Newton Leibniz made ??a creative contribution to the establishment of the extreme ideas. Finally, we discuss the thinking of limits in prescribing and solving of a certain point.
Key words: Limit ； Generation； Development； Application
引言
数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象和外部有效性的一门学科。数学科学是知识和思想方法的有机组合。求解实际问题的正确解法是由一系列正确的程序组成, 即从已知量出发, 通过对已知条件与目标结果的联系, 并运用数学的各种运算, 最终得到正确的结果的过程。微积分是解决实际问题的一个基础, 极限的思想是微
分与积分的基础, 极限的思想贯穿整个微积分的内容。 理解并掌握好其中极限的重要思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 提高实际效果。本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程作出初步的探索和分析。
1 极限思想的产生
极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，它也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法—归谬法来完成有
1关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果。”极限思想的历史可谓源远流长，一直可以上溯到2000多年前。这一时期可以称作是极限思想的萌芽阶段。其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够对极限思想得出一个抽象的概念。也就是说，这时的极限思想建立在一种直观的原始基础上，没有上升到理论层面，人们还不能够系统而清晰地利用极限