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线性代数方程组求解
篇一:矩阵代数实验,一,、实验目的,1.复习高等代数中线性代数方程组的求解和矩阵的相关
线性代数方程组求解
一、实验要求
编程求解方程组： 方程组1：
方程组2：
方程组3：
要求：
用C/C++语言实现如下函数： 1. bool lu(double* a, int* pivot, int n); 实现矩阵的LU分解。
pivot为输出参数，pivot[0,n) 中存放主元的位置排列。 函数成功时返回false，否则返回true。
2. bool guass(double const* lu, int const* p, double* b, int n);
求线代数方程组的解
设矩阵Lunxn为某个矩阵anxn的LU分解，在内存中按行优先次序存放。p[0,n)为LU分解的主元排列。b为方程组Ax=b的右端向量。此函数计算方程组Ax=b的解，并将结果存放在数组b[0,n)中。函数成功时返回false，否则返回true。
3. void qr(double* a, double* d, int n);矩阵的QR分解
假设数组anxn在内存中按行优先次序存放。此函数使用HouseHolder变换将其就地进行QR分解。
d为输出参数，d [0,n) 中存放QR分解的上三角对角线元素。
4. bool hshld(double const*qr, double const*d, double*b, int n); 求线代数方程组的解
设矩阵qrnxn为某个矩阵anxn的QR分解，在内存中按行优先次序存放。d [0,n) 为QR分解的上三角对角线元素。b为方程组Ax=b的右端向量。
函数计算方程组Ax=b的解，并将结果存放在数组b[0,n)中。 函数成功时返回false，否则返回true。
二、问题分析
求解线性方程组Ax=b，其实质就是把它的系数矩阵A通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。因此，在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要，然而矩阵A的变换通常有两种分解方法：LU分解法和QR分解法。
1、LU分解法：
将A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，即：A=LU,
?10
?l121?其中 L=????
?ln1ln2
????
0??u11u12
?0u0?22?， U=??00?0
??1?0?0
?u1n?
?u2n?? ???
?
?unn?
2、QR分解法：
将A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R,即：A=QR
三、实验原理
解Ax=b 的问题就等价于要求解两个三角形方程组： ⑴ Ly=b,求y; ⑵ Ux=y,求x.
设A为非奇异矩阵,且有分解式A=LU, L为单位下三角阵,U为上三角阵。
L,U的元素可以有n步直接计算定出。用直接三角分解法解Ax=b（要求A的所有顺序主子式都不为零）的计算公式： ① uli?ali(i?1,2,?,n),lil?ail/u11 ,i=2,3,?，n. 计算U的第r行，L的第r列元素(i=2,3,?,n)： ② uri?ari??lrkuki ， i=r,r+1,?,n;
k?1r?1
③ lir?(air??likukr)/urr , i=r+1,?,n,且r≠n.
k?1
r?1
求解Ly=b，Ux=y的计算公式；
y1?b1,
④
yi?bi??likyk,i?2,3,?n:
k?1
i?1
xn?yn/unn,⑤
xi?(yi?
k?i?1
?uikxk)/uii,i?n?1,n?2,?,1.
n
四、实验步骤
1>将矩阵A保存进计算机中，再定义2个空矩阵L，U以便保存求出的三角矩阵的值。
利用公式①，②，③将矩阵A分解为LU，L为单位下三角阵,U为上三角阵。 2>可知计算方法有三层循环。
先通过公式①计算出U矩阵的第一行元素uli 和L矩阵的第一列元素lil。 再根据公式②和③，和上次的出的值，求出矩阵其余的元素，每次都要三次循环，求下一个元素需要上一个结果。 3>先由公式④ ，Ly=b
y1?b1,
yi?bi??likyk,i?2,3,?n:
k?1
i?1
求出y，因为L为下三角矩阵，所以由第一行开始求y. 4>再由公式⑤，Ux=y
xn?yn/unn,n
xi?(yi?
ik
xk)/uii,i?n?1,n?2,?,1.
k?u
?i?1
求出x, 因为U为上三角矩阵，所以由最后一行开始求x.
五、程序流程图
1、LU分解法
回代过程
高等代数实验
篇二:矩阵代数实验,一,、实验目的,1.复习高等代数中线性代数方程组的求解和矩阵的相关
矩阵代数实验,一,、实验目的,1.复习高等代数中线性代数方程组的求解和矩阵的相关。
高等代数实验
参考1.<<线性代数机算与应用指导Matlab版>>
(第1次)实验1 矩阵的基本运算 +熟悉matlab相关操作编程、作图等 (第2次)实验2：行列式与方程组的求解
（第3次）实验3：向量组的线性相关性及方程组的通解 （第4次）实验4：特征向量与二次型
实验1 矩阵的基本运算
1.1 实验目的
1. 掌握 Matlab 软件的矩阵赋值方法；
2. 掌握 Matlab 软件的矩阵加法、数乘、转置和乘法运算；
3. 掌握 Matlab 软件的矩阵幂运算及逆运算；
4. 掌握 Matlab 软件的矩阵元素群运算；
5. 通过 Matlab 软件进一步理解和认识矩阵的运算规则。
实验目的简单的讲：熟练使用Matlab软件进行矩阵的基本运算。
实验指导和实验内容及作业参考《（较清晰）线性代数机算与应用（MATLAB版）》.pdf
高等代数实验报告[1]
篇三:矩阵代数实验,一,、实验目的,1.复习高等代数中线性代数方程组的求解和矩阵的相关
高等代数实验报告
实验时间：2013-12-03 报告评分：
1
2
高等代数实验报告
实验时间：2013-12-06 报告评分：
3
4
5
数学实验——线性代数方程组的数值解
篇四:矩阵代数实验,一,、实验目的,1.复习高等代数中线性代数方程组的求解和矩阵的相关
实验5线性代数方程组的数值解法
分1 黄浩 2011011743
一、 实验目的
1. 学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳
定性作初步分析；
2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。
二、 实验内容
1. 《数学实验》第二版（问题1）
问题叙述：
通过求解线性方程组??1??=??1,??2??=??2，理解条件数的意义和方程组性态对解的影响，其中??1是n阶范德蒙矩阵，即
1 ??1= 1
… 1
??0??1…?????1
2??02??1…2?????1
???1
…??0
???1
…??1 , ??=1+0.1?? , ??=0,1,…,???1
??
……
???1
…?????1
??2是n阶希尔伯特矩阵，b1，b2分别是??1,??2的行和。
（1） 编程构造??1（??2可直接用命令产生）和b1，b2；你能预先知道方程组
??1??=??1和??2??=??2的解吗？令n=5，用左除命令求解（用预先知道的解可验证程序）。
（2） 令n=5,7,9，…，计算??1和??2的条件数。为观察他们是否病态，做以
下试验：b1，b2不变，??1和??2的元素??1(n,n)，??2(??,??)分别加扰动ε后求解；??1和??2不变，b1，b2的分量b1(n),b2(n)分别加扰动ε后求解。分析A与b的微小扰动对解的影响。ε取10^-10,10^-8,10^-6。
（3） 经扰动得到的解记做?? ，计算误差
较。
模型转换及实验过程： （1）小题.
????? ??
，与用条件数估计的误差相比矩阵代数实验,一,、实验目的,1.复习高等代数中线性代数方程组的求解和矩阵的相关。
由b1,b2为??1,??2的行和，可知方程组??1??=??1和??2??=??2的精确解均为n行全1的列向量。在n=5的情况下，用matlab编程（程序见四.1），构造??1,??2和b1，b2，使用高斯消去法得到的解x1,x2及其相对误差e1,e2（使用excel计算而得）为：矩阵代数实验,一,、实验目的,1.复习高等代数中线性代数方程组的求解和矩阵的相关。
由上表可见，当n=5时，
所得的解都接近真值，误差在10^-12的量级左右。 （2）小题
分别取n=5,7,9,11,13,15，计算??1和??2的条件数c1和c2，（程序见四.2），结果如下：
由上表可见，二者的条件数都比较大，可能是病态的。为证实??1和??2是否为病态，先保持b不变，对A(??,??)做扰动，得到该情况下的高斯消元解，（程序见四.3），结果如下：
(为使结果清晰简洁，在此仅列出n=5,9,13的情况，n=7,11,15略去) ε=10^-10时：
ε=10^-8时：
ε=10^-6时：
由上表可见：
a) 对于希尔伯特阵，随着阶数的增加，微小扰动对解带来的影响越来越大，
到了n=9时，已经有了6倍误差的解，到了n=13时，甚至出现了22倍误差的解元素；而随着ε的增加，解的偏差似乎也有增加的趋势，但仅
凭上述表格无法具体判断（在下一小题中具体叙述）。
b) 对于范德蒙矩阵，当n<10时，微小扰动对范德蒙矩阵的影响较小，最
大的误差不过1.6倍，但当n>10时，微小扰动对范德蒙矩阵的影响急剧增加，更出现了33倍误差的解！此时希尔伯特阵与范德蒙阵的病态程度是类似的。（因此，我认为第一版上的参考答案不够全面） 当固定A改变b时，结果与上表类似，微小扰动的影响随阶数的增加而增大，随ε的增加，解的偏差也有增加的趋势。方程组的解表格在此略去，程序也类似，其具体影响及分析见下一小问。
（3）小题
在上一小问中，我们解出了当A、b分别作微小扰动时解的变化情况，但是仅凭直观的感觉以及表格横向的比较，并不能很好的找出其内在规律。因此，可以通过计算误差
????? ??
对于这个误差计算公式，我选择的是2-范数，即norm（x）函数进行计算。 保持b不变，给A(n,n)以微小的扰动，（程序见四.4），结果如下（其中E1、E2分别为两方程解的误差 ????? ??
）：
由上表可得出结论：
第一，随着阶数的增加，误差值有增加的趋势
第二，ε的变化对误差大小也有影响，但不是绝对的，对于n=5,7,9,11,13，
ε越大，扰动引起的偏差就越大，对于n=15，找不到ε与E的相关性
第三，实际算得的误差远远小于条件数指出的误差上限
第四，当n<10时，微小扰动对范德蒙矩阵的影响较小，但当n>10时，微小
扰动对范德蒙矩阵的影响急剧增加，到了n=15时，病态程度已与希尔伯特阵类似。