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【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习 与数列交汇的综合问题提能专训
篇一:名师伴你行数学
提能专训(十二) 与数列交汇的综合问题
一、选择题
22π
1．(2014·吉林实验中学)若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11，则tan a6
3的值为( )
A.3 C．±3 [答案] B [解析] ∵S11＝
B．－3 D．－
33
a1
＋a11
222π
11a6＝
3
2π2π
∴a6＝，∴tan a6＝tan3.
33
2．(2014·合肥二次联考)在△ABC中，tan A是以－4为第三项，4为第七项的等差数列1
的公差，tan B是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是________三
3角形( )
A．等腰直角 C．锐角 [答案] C
[解析] 依题意知，d＝tan A＝
3b6
3B．钝角 D．非等腰的直角
a7－a34
－－
4
4
2，
q＝tan B＝
b3
1
9÷3. 3
tan A＋tan B2＋3
∴tan(A＋B)＝1<0，
1－tan Atan B1－2×3∴A＋B为钝角，故C为锐角．易知A，B均为锐角． ∴△ABC为锐角三角形．
3．(2014·安阳调研)等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，?.且a5·a2n－5＝2(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1＝( )
A．(n－1) C．n(2n－1) [答案] D
[解析] ∵等比数列{an}满足an>0，a5·a2n－5＝2(n≥3)，∴a5·a2n－5＝(an)＝2，∴an
＝2.∴log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1＝log2(a1a3·?·a2n－1)＝log2(an)＝log2(2)＝log22n
n
n
nn
2
2n
2
2n
2
2n
B．(n＋1) D．n
2
2
＝n.
4．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×2＋1×2＋0×2＋1×2＝13，那么将二进制数(11?101)2转换成十进制数是( )
A．2－1 C．2－3 [答案] C
[解析] 由题意可得转化为十进制数为1×2＋1×2＋?＋1×2＋1×2＝1×2＋1×2＋?＋1×2＋1×2＋1×2－2＝2－3.故选C.
5．(2014·厦门5月适应性考试)数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为∏n，且∏n＝2)
＋1)
14
2
16
15
14
2
15
1616
3
2
1
2
B．2－2 D．2－4
16
16
n(n
，则S5等于( ) A．31 C．124 [答案] B名师伴你行数学。
∏n[解析] 因为∏n－1
n
*
B．62 D．126
22
nn＋nn－
＝2(n≥2)，所以an＝2(n≥2)，又a1＝∏1＝(2)＝
－21－2
5
nn2
2，所以an＝2(n∈N)，即数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则S5＝2－2＝62.故选B.
6．(2014·浦东新区第一学期期末质量抽测)已知函数f(x)＝
6名师伴你行数学。
x2
x2＋1
则f(1)＋f(2)＋?名师伴你行数学。
?1??1?1?＋f?1＝( ) ＋f(2 013)＋f(2 014)＋f??＋f?＋?＋f????2??3??2 013??2 014?
1
A．21
C．2[答案] D
[解析] 这种类型的求和问题，一般都是配对分组，观察式子的特征，研究发现f(x)＋
1
B．21
D．2
f??＝1，因此把式子中f(k)与f?合并使每个和都为1，共有2 013个1，而f(1)＝，故
2?x??k?
结论为D.
7．(2014·西宁四校联考)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，令an＝f(n＋1)＋f(n)，
?1??11
n∈N*，记数列?的前n项和为Sn，则Sn＝10时，n的值是( )
?an?
A．110
?1?
B．120
C．130 [答案] B
111αα
[解析] 设f(x)＝x，则4＝2，α＝f(x)＝x，n＋1－n，
2ann＋1n
?1?
数列?的前
?an?
D．140
n项和Sn＝2－1)＋(3－2)＋?＋(n＋1n)＝n＋1－1.令n＋1
－1＝10得n＝120，故选B.
8．(2014·陕西质检)已知函数f(x)＝(1－3m)x＋10(m为常数)，若数列{an}满足an＝
f(n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}前100项的和为( )
A．39 400 C．78 800 [答案] B
[解析] ∵a1＝f(1)＝(1－3m)＋10＝2，∴m＝3，∴an＝f(n)＝－8n＋10，∴S100＝－8(1101×100
＋2＋?＋100)39 400，故选B.
2
9．(2014·兰州、张掖联考)如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，
B．－39 400 D．－78 800
Dn在函数f(x)＝x＋x>0)的图象上．若点Bn的坐标为(n,0)(n≥2，n∈N*)，记矩形AnBnCnDn
x
的周长为an，则a2＋a3＋?＋a10＝(
)
1
A．208 C．212 [答案] B
111??1?2
[解析] 由Bn(n,0)得Cn?n，n，令x＋＝n＋，即x－?n＋?x＋1＝0，得x＝n或
B．216 D．220
?n?
xn
?n?
111?11??n＋n－xDn?.所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2?＋2?n＋＝4n，则a2＋a3＋?
n
?nn??n??n?
＋a10＝4×(2＋3＋?＋10)＝216.
10．(2014·南昌一模)若数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝(－1)－
n＋2 014
*
n＋2 013
·a，bn＝2＋
n
，且an<bn对任意n∈N恒成立，则常数a的取值范围是( )
B．[－2,1)
A．(－2,1)
C．(－2,1] [答案] B
[解析] 由an<bn，得－(－1)·a<2＋
*
D．[－2,1]
n
－1
n
n
*
要使其对任意n∈N恒成立，则当n＝2k－1(k∈N)时，a<2－
1?1?恒成立，又??max2k－1?2k－1?
11?1*
＝1，所以a<2－1＝1；当n＝2k(k∈N)时，－a<2＋恒成立，又∈?0，，所以－a≤2，
2k2k?2?得a≥－2.综上所述，－2≤a<1.
11．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足
fxx
＝a，且f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，
gx
f
g
f－g－
?f5
，若有穷数列?2?gn?31
(n∈N*)的前n项和等于，则n等于( ) n?32
B．5 D．7
A．4 C．6 [答案] B [解析] ?
?fx?′＝f
?
?gx?
xgx－fxg
gx
x
＋
因为f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，所以?
?fx′<0，即axln a<0，故0<a<1.由f
g?gx?
f－
g－
?fn?5151
(n∈N*)是等比数列，其前n项＝，得a＋＝，解得a＝.所以有穷数列?
2a22?gn?
1?1?n＋1－??2?2?31
和Sn＝，解得n＝5.
13212
12．(2014·衡阳二模)设函数f(x)＝8x＋sin πx－cos πx，数列{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋?＋f(a7)＝14，则a4＝( )
11
A．0 B. C.
42[答案] B
D．1
?1[解析] 由题知[f(a1)－2]＋[f(a2)－2]＋?＋[f(a7)－2]＝0，f(x)－2＝8?x－2
?4??1sin π?x.令g(t)＝8t2sin πt，则g′(t)＝82πcos πt>0，g(－t)＝－g(t)， ?4?
11?1??∴g?a1－＋g?a2－?＋?＋ga7＝0. 4?4?4??∵数列{an}是公差不为0的等差数列，
∴不妨设a1<a2<?<a7， 111
则a1－a2a7－，
4441?1??假设?a1＋?a7－?>0， 4??4??
?a1－1?>－?a7－1，
??4?4????
g?a1－?>－g?a7－，
44
????
1?
??
??
1?
g?a1－?＋g?a7－?>0，
44
1?
?
?
1?
?
11?1??∴g?a1－＋g?a2－?＋?＋ga7>0. 4?4?4??1?1??假设?a1＋?a7－?<0， 4??4??
1??11???同理可得g?a1－?＋g?a2－＋?＋g?a7－?<0.
4??4?4???1?111?综上，?a1－＋?a7－＝0，a1＋a7a4. 4??4?24?二、填空题
?3?13．(2014·河南六市统考)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f?－x?＝f(x)，
?2?
Snan
f(－2)＝5，数列{an}满足a1＝－1，且＋1(其中Sn为{an}的前n项和)，则f(a6)＋
nnf(a7)＝________.
[答案] －5
[解析] 由题意，得Sn＝2an＋n，∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－(2an－1＋n－1)＝2an
－2an－1＋1，∴an＝2an－1－1(n≥2)?an－1＝2(an－1－1)，又a1＝－1，∴数列{an－1}是公比为2，首项为－2的等比数列．∴an＝－2＋1.∴a6＝－63，a7＝－127.已知定义在R上的函数
n
f(x)是奇函数且满足f－x＝f(x)，∴f(x)是周期为3的函数．∴f(a6)＋f(a7)＝f(－63)＋f(－127)＝f(0)＋f(－1)＝f(2)＝－5.
14．(2014·石家庄质检二)定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的．已知数列{an}满2max{an＋1，2}*
足a1＝a(a>0)，a2＝1，an＋2＝n∈N)，若a2 014＝2a，记数列{an}的前n项和为
3
2
an
Sn，则S2 014的值为________．
[答案] 5 235
【名师伴你行】2015届高考理科数学二轮复习专题突破课件+题能专训：第10讲 三提能专训10
篇二:名师伴你行数学
提能专训(十) 等差与等比数列
一、选择题
1．(2014·武威凉州区一诊)等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝( )
A．54 C．32 [答案] D
[解析] 解法一：由等比数列的性质，知S5，S10－S5，S15－S10，S20－S15仍成等比数列，∴2,4,8,16，故选D.
a1?1－q5?a1?1－q10?解法二：∵S5＝S10＝，
1－q1－qS∴S＝1＋q5＝3，q5＝2.
5
∴a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝23·S5＝8×2＝16，故选D.
2．(2014·广西四市联考)已知等比数列{an}的前n项和Sn，若a2a3
5
＝2a1，且a4与2a7的等差中项为4，则S5＝( )
A．35 C．31 [答案] C
3aq1?＝2，
[解析] 由?得?61 5
?a4＋2a7＝2，?a1q＝4，
B．48 D．16
B．33 D．29
?a2a3＝2a1，
11
∴q3＝8，q＝2.∴a1＝16.
∴S5＝
??1?5??16×1－?2?????
11－2
1??
＝32×?1－32＝31，故选C.
??
3．(2014·南阳三次联考)等差数列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为( )
A．297 C．99 [答案] C
??a1＋a4＋a7＝39，
[解析] 由?
?a3＋a6＋a9＝27，???a4＝13，
得?∴a4＋a6＝22. ?a6＝9.?
B．144 D．66
a1＋a9a4＋a6
∴S9＝2×9＝2×9＝99，故选C.
4．(2014·郑州质检)已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a27＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b12等于( )
A．1 C．4 [答案] C
2[解析] ∵a4－2a27＋3a8＝0，∴2a7＝a4＋3a8＝a7－3d＋3(a7＋d)
B．2 D．8
＝4a7，∴a7＝2，∴b7＝2.
2∴b2b12＝b7＝4，故选C.
5．(2014·陕西质检三)已知a，b，c是三个不同的实数．若a，b，c成等差数列，且b，a，c成等比数列，则a∶b∶c＝( )
A．2∶1∶4 C．1∶2∶4
B．(－2)∶1∶4 D．1∶(－2)∶4
??a＋c＝2b，
[解析] 依题意有?2检验各选项，可知B正确．
??a＝bc，
an＋1－1
6．(2014·合肥二检)数列{an}满足a1＝2，an＝n项
an＋1＋1积为Tn，则T2 014＝( )
1
A.6 C．6 [答案] D
an＋1－11＋an
[解析] 由an＝，得an＋1＝，因为a1＝2，所以a2＝
an＋1＋11－an
11
－3，a3＝－2a4＝3，a5＝2，由a5＝a1，得数列{an}的周期为4，因为a1·a2·a3·a4＝1，所以T2 014＝T503×4＋2＝T2＝a1·a2＝－6，故选D.
7．(2014·合肥一中、安师大附中等六校素质测试)在正项等比数列a{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则a＝( )
7
5623A.6 B.5 C.3 D.2[答案] D
[解析] 由题意可知，a4·a6＝6，且a4＋a6＝5，解得a4＝3，a6＝2，aa3
所以aa2D.
67
8．(2014·洛阳统考)已知数列{an}是等差数列，且a3＋a6＝5，数列{bn}是等比数列，且b5＝a2＋5a5，则b2b8＝( )
A．1 C．10
B．5 D．15 1
B．－6 D．－6
[解析] 由等差数列的通项公式知，a3＋a6＝2a1＋7d(其中d为等差数列{an}的公差)，由等比数列的性质知，b2b8＝b25＝a2＋5a5＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝3(a3＋a6)＝15，故选D.
9．(2014·合肥第一次质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝( )
A．7 C．14 [答案] C
[解析] 因为an＋2＝2an＋1－an?an＋2＋an＝2an＋1，所以数列{an}是?a1＋a7?×7等差数列，因为a5＝4－a3，所以a3＋a5＝4，所以S7＝2?a3＋a5?×7
＝14，故选C. 2
10．(2014·安徽六校联考)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )
A．0 C．8 [答案] B
[解析] 设{bn}的公差为d，
∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2. ∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6. 7×6∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋2·d ＝7×(－6)＋21×2＝0.
又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8
－3＝0，
B．3 D．11 B．12 D．21
∴a8＝3.故选B.
11．(2014·辽宁五校联考)设函数f(x)＝ex(sin x－cos x)(0≤x≤2 012π)，则函数f(x)的各极小值之和为( )
e2π?1－e2 012π?A．－
1－ee2π?1－e1 006π?C
1－e[答案] D
[解析] f′(x)＝(ex)′(sin x－cos x)＋ex(sin x－cos x)′＝2exsin x，若f′(x)<0，则x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ)，k∈Z；若f′(x)>0，则x∈(2kπ，π＋2kπ)，k∈Z.所以当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得极小值，其极小值为f(2π＋2kπ)＝e2kπ＋2π[sin(2π＋2kπ)－cos(2π＋2kπ)]＝e2kπ＋2π×(0－1)＝－e2kπ＋2π，k∈Z.因为0≤x≤2 012π，又在两个端点的函数值不是极小值，所以k∈[0，1 004]，所以函数f(x)的各极小值构成以－e2π为首项，以e2π为公比的等比数列，共有1 005项，故函数f(x)的各极小
2π2 010π
e?1－e?2π4π2 010π
值之和为S1 005＝－e－e－…－eD.
1－ee2π?1－e1 006π?B1－ee2π?1－e2 010π?D．－
1－eS12．在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若2 012S－102 002，则S2 014的值等于( )
A．2 011 C．2 014 [答案] C
[解析] 等差数列中，Sn＝na1＋
n?n－1?Sd
a＋(n－1)12n2B．－2 012 D．－2 013
?S?dSS列?n是首项为a1＝－2 012，公差为22 01210＝2 ??