【www.myl5520.com--综合试题】
弦长公式(高二版椭圆)
篇一:圆的弦长公式
圆锥曲线综合问题
1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。
（1）若已知直线过点(x0,y0)，则假设方程为y-y0=k(x-x0)； （2）若已知直线的斜率k，则假设方程为y=kx+m； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为y=kx+m
【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；
（4）若已知直线恒过x轴上一点(t,0)，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设
直线为x=my+t。【反斜截式，m=
1
】不含垂直于y轴的情况（水平线） k
x2y2
2.弦长公式：若直线l:y?kx?m与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于P,Q两点，求弦长
ab|PQ|的步骤： 设P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立方程组（将直线方程代入椭圆方程）：
?y?kx?m,2
消去y整理成关于x的一元二次方程：Ax?Bx?C?0， ?222222
?bx?ay?ab,
则x1,x2是上式的两个根，??B?4AC?0；由韦达定理得：x1?x2??
2
BC,x1x2?, AA
又P,Q两点在直线l上，故y1?kx1?m,y2?kx2?m，则y2?y1?k(x2?x1)，从而
|PQ|?
?
?
?
2
【注意：如果联立方程组消去x整理成关于y的一元二次方程：Ay+By+C=0，则
|PQ|?反斜截式揪揪揪井
3、其他常见问题处理 （1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合） （2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于-1），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解； （4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：SD=rp,(这里p=
a+b+c
)； 2
（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要联想到定义；
（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。
例1．（2007山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦
a2点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为x=?)间的距离为4
c
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.
x2
?y2?1. 例1.解：(1)2
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?2,A(x1,y1),B(x2,y2)
?y?kx?222由?2，消去y得关于x的方程：(1?2k)x?8kx?6?0 2
?x?2y?2
2
由直线l与椭圆相交于A、B两点，???64k2?24(1?2k2)?8(2k2?3)?0解得k?
3 2
8k6,x1?x2?又由韦达定理得x1?x2??, |AB|
?22
1?2k1?2k
点O到直线l
的距离d?
?S?AOB
1
.
?|AB|?d??2
21?2k
??
m2?4m?2
m
令m?
m?0)， 22
则2k?m?
3，?S?
当且仅当m?
4即m?2时，
Smax?
此时k??.
所求直线为2y?4?0m22
解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为
2
y?kx?2,A(x1,y1),B(x2,y2)，则直线l与x轴的交点D(?,0)，
k
8k632
,x?x? 由解法一知k?且x1?x2??， 12
1?2k21?2k22
112
解法1：S?AOB?|OD|?|y1?y2|?||?|kx1?2?kx2?2| =|x1?x2|
22k
?
?
?.下同解法一. 解法2：S?AOB?S?POB?S?POA
1圆的弦长公式。
??2?||x2|?|x1||?|x2?
x1|。 2
x2y2
??1的左、例2：已知椭圆右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，32
过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC?BD，垂足为P．
22
x0y0
??1；（Ⅰ）设P(x0，y0)，证明：（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
32
例2：解：
（Ⅰ）椭圆的半焦距c??1，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径
222y0x0y01?≤???
1． 的圆上，故x?y?
12222
2
020
222y0x01?x0112?????x0?1 23226
（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k?0时，BD的方程为y?k(x?1)，代入椭圆方程
x2y2
??1，并化简得(3k2?2)x2?6k2x?3k2?6?0．??48(k2?1)?0 326k23k2?6设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1?x2??2，x1x2?2
3k?23k?
2
；因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率BD??1?
2?1?
1k?为?，
同理可得AC?AC和BD都过P与椭圆相交）?k3?2?2k
故四边形ABCD的面积, 注意k?0
2
124(k2?1)24(6k4?12k2?6)k2S?BDAC???4(1?4)．
2(3k2?2)(2k2?3)6k4?13k2?66k?13k2?6
?4(1?
1962
)?4(1?, 当k?1时，上式取等号．
1256(k2?2)?13k962
．【也可以令t=k+1?1，或者对分母用基本不等式】 25
（ⅱ）当BD的斜率k?0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S?4． 四边形ABCD的面积的最小值为
x2y21
例3、[2014·陕西文] 已知椭圆1(a＞b＞0)经过点(03)，离心率为ab2分别为F1，F2．
1
(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为－的直线l与椭圆交于A，B两点，与以
2|AB|53
F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
|CD|4
x2y2
例3．解： (1)椭圆的方程为＋＝1.
43
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心(0，0)到直线l的距离d＝由d<1，得|m5
，(*) ∴|CD|＝21－d＝22
1
2|m|
5
421－m2＝5－4m.（垂径定理） 55
?y＝－2x＋m，
设A(x，y)，B(x，y)，由?得x－mx＋m－3＝0，D=3(4-m)>0
xy?431
1
1
2
2
2
2
2
2
2
x1＋x2＝m，x1x2＝m－3，∴|AB|
4－m. 22
|AB|3由＝|CD|4
4－m313
1，解得m＝，满足(*)．∴直线l的为y＝－ ±3235－4m
x2y23
例4、(2014全国I卷理)已知点A(0，－2)，椭圆E1(a>b>0)的离心率为F是
ab2椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为
23
，O为坐标原点． 3
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． x22
例4．解：(1) y＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
4
x22
将y＝kx－2代入＋y＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
4
3k＋4k－3当Δ＝16(4k－3)>0，即k>时，从而|PQ|. 4
4k＋12
2
44k－321
又点O到直线l的距离d＝OPQ的面积S△OPQ＝d2|PQ|. 24k＋1k＋14t447
设4k－3＝t，则t>0，S△OPQ＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝时等
t42t＋4
t＋t
7
号成立，满足Δ>0，所以，当△OPQ的面积最大时，k＝l的方程为y
＝?22
2
x2
?y2?1交于A、B两点，记△AOB例5、（2007浙江文）如图，直线y＝kx＋b与椭圆4
的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值； （Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
x2
?y2?1， 例5、解：(I)设点A的坐标为((x1,b)，点B的坐标为(x2,b)，由4
得
x1,2??
当且仅当b
?
时，．S取到最大值1．
?y?kx?b?
（Ⅱ）由?x2得(4k2?1)x2?8kbx?4b2?4?
0，??16(4k2?b2?1) ①
2
??y?1?4
｜AB
② 又因为O到AB的距离d?
?
2S
?1 所以b2?k2?1 ③ |AB|
123
,
b?，代入①式检验，△＞0， 22
242
③代入②消去b得4k?4k?1?
0解得，k?
故直线AB
是y?
或y?或y??或y??． xxx?
x
2222x2y2例6、（2007陕西文）已知椭圆C:2?2=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右
3ab
焦点的距离为3.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
，求△AOB面积的最大值. 2
圆锥曲线弦长公式
篇二:圆的弦长公式
圆锥曲线弦长公式
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线
代入曲线方程，
化为关于x
的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式
求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于
求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用
这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长
若椭圆方程为
，半焦距为
线的倾斜角为圆的弦长公式。
，焦点
。解：连结
，设过的直，设
交椭圆于A、B
两点，求弦长，由椭圆定义得
，由余弦定理得
，整理可得
，同理可求得
，则弦长
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式： 二
（a为长半轴，b
. 双曲线的焦点弦长
设双曲线过
的直线的倾斜角为
，其中两焦点坐标为
，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
，
。
解：（1）当
点A、B在同一交点上，连得
时，（如图2）直线与双曲线的两个交，设，由余弦定理可得
，由双曲线定义可
整理可得
，同理
，则可求得弦长
（2）当
A、B在两支上，连
或
，设
时，如图3，直线l与双曲线交点
，则
，
，
，由余弦定理可得
整理可得，则
因此焦点在x轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
三
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长
若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的
倾斜角为，求弦长|AB|？（图4） 解：过A、B两点分别向x
轴作垂线
为垂足，设
，
，
则点A的横坐标为，点B横坐标为
，由抛物线定义可得
即
则
同理的焦点弦长为
的焦点弦长为
，所以抛物线的焦点弦长为
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一
圆的计算公式
篇三:圆的弦长公式
圆周长 = 直径 X π（π = 3.14159...）
一个圆形的直径是1.2米它的长度怎么算
圆形的长度即周长C＝π d(π一般取3.14，d是圆直径）＝3.14×1.2≈3.77（米）
圆的计算公式
给直径求圆的周长：c=πd
给半径求圆的周长：c=2πr
给直径求圆的半径：r=d÷2
给周长求圆的半径：r=c÷π÷2
给半径求圆的直径：d=2r
给周长求圆的直径：d=c÷π
给直径求半圆周长：c=πr+d
给半径求半圆周长：c=πr+2r
给半径求圆的面积：s=πr2
给直径求圆的面积：s=π（d÷2）2
给周长求圆的面积：s=π（c÷π÷2）2
给半径求半圆面积：s=πr2÷2
给直径求半圆面积：s=π（d÷2）2÷2
给大圆和小圆半径求圆环面积：s=π（R2-r2）
给大圆和小圆半径求圆环面积：s=πR2-πr2
弦长公式
篇四:圆的弦长公式
弦长公式
若直线l:y?kx?b与圆锥曲线相交与A、B两点，A（x1,y1),B(x2,y2)则 弦长AB? ? ? ?|AB|=1?
1k
2
(x1?x2)
2
2
?(y1?y2)
2
2
(x1?x2)?[kx1?b?(kx2?b)]
1?k?k
2
x1?x2 (x1?x2)
2
22
?4x1x2 同理：
|y2?y1|
(y2?y1)?4y2y1
特殊的，在如果直线AB经过抛物线的焦点，则|AB|=? P48第7题
例题1：已知直线y
?x?1与双曲线C:x
2
?
y
2
4
?1交于A、B两点，求AB的弦长
解：设A（x1,y1),B(x2,y2)
?y?x?1
222?4x?(x?1)?4?03x?2x?5?0 2由?得得y2
x??1?
4?2?
x1?x2???3则有? 得，
5?xx??
12?3?AB?
1?k
2
(x1?x2)
2
?4x1x2?
2
2
2
49
?
203
?
83
2
练习1：已知椭圆方程为
弦长
x
2
?y
?1与直线方程l:y?x?
12
相交于A、B两点，求AB的
练习2：设抛物线y2
?4x截直线y?2x?m所得的弦长AB长为35，求m的值
分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 A（x1,y1),B(x2,y2)
1?
y?x???22
联立方程?2得6x?4x?3?0
?x?y2?1??2
2?
x1?x2????3则?
1?xx??
12?2?
?AB?
1?k
2
(x1?x2)
2
?4x1x2?
2(?
23
)
2
?4?(?
12