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2016年大庆市中考数学试题(扫描版)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上)
1.地球上的海洋面积约为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为( ) A.36.1×107 B.0.361×109 C.3.61×108 D.3.61×107 2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示.则下列式子正确的是( )
A.a?b>0
B.a?b<0
C.a<b
D.a?b>0
3.下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形 4.当0<x<1时，x2、x、
A.x?x?
2
B.矩形的对角线互相垂直 D.四边相等的四边形是菱形
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
1 x
1
的大小顺序是( ) x
1122B.?x?x C.?x?x
xx
D.x?x?
2
1
x
5.—个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球.现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )
A.
2 5
B.
2 3
C.
3 5
D.
3 10
6.由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图，左视图、俯视图如图所示.则构成这个几何体的小正方体有( )个
主视图
A.5
B.6
左视图C.7
D.8
俯视图
7.下列图形中是中心对称图形的有(
)个
正三角形平行四边形正五边形正六边形
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图，从①∠1=∠2;②∠C=∠D;③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2
D.3
F
A
9.巳知A(x1，y1)、B(x2，y2);C(x3，y3)是反比例函数y?则下列关系式不正确的是( )
A.x1?x2<0
B.x1?x3<0
C.x2?x3<0
2
上的三点.若x1<x2<x3，y2<y1<y3，x
D.x1?x2<0
2
10.若x0是方程ax?2x?c?0(a?0)的一个根，设M?1?ac，N?(ax0?1)2.则M与N的大小
关系正确的为( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分.共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 11.函数y?
2x?1的自变量x的取值范围为____________.
12.若am=2，an=8.则am-n=________.
13.甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15.乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是________(填“甲”或“乙”). 14.如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC=________.
B
15.如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为________.
①②
③
16.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为________海里/小时.
C
B
17.如图，在矩形ABCD中.AB=5.BC=10，一圆弧过点B和点C.且与AD相切，则图中阴影部分面积为________.
B
18.直线y=kx+b与抛物线y?
12
x交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过—个定4
点，该定点坐标为____________.
三、解答题(本大题共10小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题4分)
计算(2?1)???|1?2| 20.(本题4分)
已知a+b=3，ab=2.求代数式ab?2ab?ab的值. 21.(本题5分) 关于x的两个不等式①
3
2
2
3
20
3x?a
?1与②1?3x?0 2
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值.
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围.
22.(本题6分)
某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天加工多少个零件?
23.(本题7分)
为了了解某学校初四年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二);
人数2015105
3图二
123图一
45t
(小时)
(1)根据以上信息回答下列问题;
①求m值.
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数. ③补全条形统计图.
(2)直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数. 24.(本题7分)
如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F.交AD于点E. (1)求证：AG=CG;
(2)求证：AG?GE?GF.
2
B
25.(本题7分)
如图，P1，P2是反比例函数y?
k
(k?0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0). x
若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点. (1)求反比例函数的解析式.
(2)①求P2点坐标.
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y?
k
的函数值.
x
26.(本题8分)
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示.针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水.注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其它因素).
(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量. (2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围).若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围.
y /
27.(本题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M.若H是AC的中点，连接MH. (1)求证：MH为⊙O的切线. (2)若MH=
33
，tan∠ABC=，求⊙O的半径. 24
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D.AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ
⊥BC，
垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度.
H
D
C
B
28.(本题4分)
若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”.抛物线C1：y1=-2x2+4x+2与C2：y2=-x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足.求AQ+OQ的最大值; (3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(-1，4).问在C1的对称轴上是否存在点M.使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB'，且点B'恰好落在抛物线C2上.若存在求出点M的坐标，不存在说明理由.
2016年黑龙江省大庆市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为( )
A.36.1×107B.0.361×109C.3.61×108D.3.61×107
2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是( )
A.a•b>0 B.a+b<0 C.|a|<|b| D.a﹣b>0
3.下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线互相垂直
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.四边相等的四边形是菱形
4.当0<x<1时，x2、x、 的大小顺序是( )
A.x2 B. <x<x2C. <x D.x<x2<
5.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
6.由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体有( )个.
A.5 B.6 C.7 D.8
7.下列图形中是中心对称图形的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)是反比例函数y= 上的三点，若x1<x2<x3，y2<y1<y3，则下列关系式不正确的是( )
A.x1•x2<0 B.x1•x3<0 C.x2•x3<0 D.x1+x2<0
10.若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=1﹣ac，N=(ax0+1)2，则M与N的大小关系正确的为( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.函数y= 的自变量x的取值范围是 .
12.若am=2，an=8，则am+n= .
13.甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 (填“甲”或“乙”).
14.如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= .
15.如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为 .
16.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时.
17.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10 ，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为 .
18.直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 .
三、解答题(本大题共10小题，共66分)
19.计算( +1)2﹣π0﹣|1﹣ |
20.已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
21.关于x的两个不等式① <1与②1﹣3x>0
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围.
22.某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件?
23.为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二)：
(1)根据以上信息回答下列问题：
①求m值.
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数.
③补全条形统计图.
(2)直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数.
24.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.
(1)求证：AG=CG.
(2)求证：AG2=GE•GF.
25.如图，P1、P2是反比例函数y= (k>0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)①求P2的坐标.
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.
26.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其它因素).
(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量.
(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围.
27.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.
(1)求证：MH为⊙O的切线.
(2)若MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度.
28.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(﹣1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标，不存在说明理由.
2016年黑龙江省大庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为( )
A.36.1×107B.0.361×109C.3.61×108D.3.61×107
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数;当原数的绝对值小于1时，n是负数.
【解答】解：361 000 000用科学记数法表示为3.61×108，
故选：C.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
2.已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是( )
A.a•b>0 B.a+b<0 C.|a|<|b| D.a﹣b>0
【考点】实数与数轴.
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，然后即可作出判断.
【解答】解：根据点a、b在数轴上的位置可知1<a<2，﹣1<b<0，
∴ab<0，a+b>0，|a|>|b|，a﹣b>0，.
故选：D.
【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用，掌握法则是解题的关键.
3.下列说法正确的是( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.矩形的对角线互相垂直
C.一组对边平行的四边形是平行四边形
D.四边相等的四边形是菱形
【考点】矩形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.
【分析】直接利用菱形的判定定理、矩形的性质与平行四边形的判定定理求解即可求得答案.
【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;故本选项错误;
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直;故本选项错误;
C、两组组对边分别平行的四边形是平行四边形;故本选项错误;
D、四边相等的四边形是菱形;故本选项正确.
故选.
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定以及平行四边形的判定.注意掌握各特殊平行四边形对角线的性质是解此题的关键.
4.当0<x<1时，x2、x、 的大小顺序是( )
A.x2 B. <x<x2C. <x D.x<x2<
【考点】不等式的性质.
【分析】先在不等式0<x<1的两边都乘上x，再在不等式0<x<1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可.
【解答】解：当0<x<1时，
在不等式0<x<1的两边都乘上x，可得0<x2<x，
在不等式0<x<1的两边都除以x，可得0<1< ，
又∵x<1，
∴x2、x、 的大小顺序是：x2<x< .
故选(A)
【点评】本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质.不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：若a>b，且m>0，那么am>bm或 > .
5.一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为： = .
故选C.
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.注意此题是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
6.由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几何体的小正方体有( )个.
A.5 B.6 C.7 D.8
【考点】由三视图判断几何体.
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数.
【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有2+1+1+1=5个小正方体，
第二层应该有2个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是5+2=7个.
故选C
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.
7.下列图形中是中心对称图形的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】中心对称图形.
【分析】根据中心对称图形的概念求解.
【解答】解：第2个、第4个图形是中心对称图形，共2个.
故选B.
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
8.如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】命题与定理.
【分析】直接利用平行线的判定与性质分别判断得出各结论的正确性.
【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A=∠F，
即 ⇒③;
当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即 ⇒②;
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
则∠4=∠D，
故DB∥EC，
则∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即 ⇒①，
故正确的有3个.
故选：D.
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题关键.
9.已知A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)是反比例函数y= 上的三点，若x1<x2<x3，y2<y1<y3，则下列关系式不正确的是( )
A.x1•x2<0 B.x1•x3<0 C.x2•x3<0 D.x1+x2<0
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】根据反比例函数y= 和x1<x2<x3，y2<y1<y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1<x2<0<x3，再选择即可.
【解答】解：∵反比例函数y= 中，2>0，
∴在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵x1<x2<x3，y2<y1<y3，
∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，
∴x1<x2<0<x3，
∴x1•x2<0，
故选A.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大.
10.若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=1﹣ac，N=(ax0+1)2，则M与N的大小关系正确的为( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
【考点】一元二次方程的解.
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得.
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
则N﹣M=(ax0+1)2﹣(1﹣ac)
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a(ax02+2x0)+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B.
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.函数y= 的自变量x的取值范围是 x≥ .
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
【解答】解：由题意得，2x﹣1≥0，
解得x≥ .
故答案为：x≥ .
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.
12.若am=2，an=8，则am+n= 16 .
【考点】同底数幂的乘法.
【专题】计算题;实数.
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值.
【解答】解：∵am=2，an=8，
∴am+n=am•an=16，
故答案为：16
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键.
13.甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10，那么成绩较稳定的是 甲 (填“甲”或“乙”).
【考点】方差.
【分析】计算出乙的平均数和方差后，与甲的方差比较后，可以得出判断.
【解答】解：乙组数据的平均数=(0+1+5+9+10)÷5=5，
乙组数据的方差S2= [(0﹣5)2+(1﹣5)2+(9﹣5)2+(10﹣5)2]=16.4，
∵S2甲<S2乙，
∴成绩较为稳定的是甲.
故答案为：甲.
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
14.如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC= 110° .
【考点】三角形内角和定理.
【分析】由D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数.
【解答】解：∵D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴有∠CBD=∠ABD= ∠ABC，∠BCD=∠ACD= ∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=180﹣40=140，
∴∠OBC+∠OCB=70，
∴∠BOC=180﹣70=110°，
故答案为：110°.
【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键.
15.如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为 4n﹣3 .
【考点】三角形中位线定理;规律型：图形的变化类.
【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果.
【解答】解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3;
第②是5个三角形，5=4×2﹣3;
第③是9个三角形，9=4×3﹣3;
∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3;
故答案为：4n﹣3.
【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系.
16.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时.
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40 =3x，解方程即可.
【解答】解：如图所示：
设该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，
在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∴AQ= AB=40，BQ= AQ=40 ，
在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，
∴CQ=AQ=40，
∴BC=40+40 =3x，
解得：x= .
即该船行驶的速度为 海里/时;
故答案为： .
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键.
17.如图，在矩形ABCD中， AB=5，BC=10 ，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为 75 ﹣ .
【考点】扇形面积的计算;矩形的性质;切线的性质.
【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣(扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积)进行计算即可.
【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，
连接OE交BC于F，连接OB、OC，
设圆的半径为x，则OF=x﹣5，
由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，
即x2=(x﹣5)2+(5 )2，
解得，x=5，xkb1
则∠BOF=60°，∠BOC=120°，
则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣(扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积)
=10 ×5﹣ + ×10 ×5
=75 ﹣ ，
故答案为：75 ﹣ .
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S= 是解题的关键.
18.直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 (0，4) .
【考点】二次函数的性质;一次函数的性质.
【专题】推理填空题.
【分析】根据直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标.
【解答】解：∵直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
∴kx+b= ，
化简，得 x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
又∵OA⊥OB，
∴ = ，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点(0，4)，
故答案为：(0，4).
【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，知道两条直线垂直时，它们解析式中的k的乘积为﹣1.
三、解答题(本大题共10小题，共66分)
19.计算( +1)2﹣π0﹣|1﹣ |
【考点】实数的运算;零指数幂.
【分析】直接利用完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简求出答案.
【解答】解：原式=2+2 +1﹣1﹣( ﹣1)
=2+2 ﹣ +1
=3+ .
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及零指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键.
20.已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解.
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2，
将a+b=3，ab=2代入得，ab(a+b)2=2×32=18.
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.
21.关于x的两个不等式① <1与②1﹣3x>0
(1)若两个不等式的解集相同，求a的值;
(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围.
【考点】不等式的解集.
【专题】计算题;一元一次不等式(组)及应用.
【分析】(1)求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可;
(2)根据不等式①的解都是②的解，求出a的范围即可.
【解答】解：(1)由①得：x< ，
由②得：x< ，
由两个不等式的解集相同，得到 = ，
解得：a=1;
(2)由不等式①的解都是②的解，得到 ≤ ，
解得：a≥1.
【点评】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解.
22.某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件?
【考点】分式方程的应用.
【分析】关键描述语为：“提前10天完成任务”;等量关系为：原计划天数=实际生产天数+10.
【解答】解：设原计划每天能加工x个零件，
可得： ，
解得：x=6，
经检验x=6是原方程的解，
答：原计划每天能加工6个零件.
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.本题需注意应设较小的量为未知数.
23.为了了解某学校初四年纪学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图(图一)和扇形统计图(图二)：
(1)根据以上信息回答下列问题：
①求m值.
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数.
③补全条形统计图.
(2)直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数.
【考点】众数;扇形统计图;条形统计图;加权平均数;中位数.
【分析】(1)①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值;
②求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数;
(2)利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式确定即可.
【解答】解：(1)①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为90°，
∴其所占的百分比为 = ，
∵课外阅读时间为2小时的有15人，
∴m=15÷ =60;
②第三小组的频数为：60﹣10﹣15﹣10﹣5=20，
补全条形统计图为：
(2)∵课外阅读时间为3小时的20人，最多，
∴众数为 3小时;
∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，
∴中位数为3小时;
平均数为： ≈2.92小时.
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数及扇形统计图和条形统计图的知识，解题的关键是能够结合两个统计图并找到进一步解题的有关信息，难度不大.
24.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.
(1)求证：AG=CG.
(2)求证：AG2=GE•GF.
【考点】相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质.
【专题】证明题.
【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，推出△ADG≌△CDG，根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)由全等三角形的性质得到∠EAG=∠DCG，等量代换得到∠EAG=∠F，求得△AEG∽△FGA，即可得到结论.
【解答】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，∠ADB=∠CDB，
∴∠F∠FCD，
在△ADG与△CDG中， ，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠DCG，
∴AG=CG;
(2)∵△ADG≌△CDG，
∴∠EAG=∠F，
∵∠AGE=∠AGE，
∴△AEG∽△FGA，
∴ ，
∴AG2=GE•GF.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键.
25.如图，P1、P2是反比例函数y= (k>0)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(4，0).若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)①求P2的坐标.
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;等腰直角三角形.
【分析】(1)先根据点A1的坐标为(4，0)，△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解;(2)先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为(4+a，a)，并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标;再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围.
【解答】解：(1)过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B
∵点A1的坐标为(4，0)，△P1OA1为等腰直角三角形
∴OB=2，P1B= OA1=2
∴P1的坐标为(2，2)
将P1的坐标代入反比例函数y= (k>0)，得k=2×2=4
∴反比例函数的解析式为
(2)①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C
∵△P2A1A2为等腰直角三角形
∴P2C=A1C
设P2C=A1C=a，则P2的坐标为(4+a，a)
将P2的坐标代入反比例函数的解析式为 ，得
a= ，解得a1= ，a2= (舍去)
∴P2的坐标为( ， )
②在第一象限内，当2<x<2+ 时，一次函数的函数值大于反比例函数的值.
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标.等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.
26.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其它因素).
(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量.
(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围.
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据两点的坐标求y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并把x=20代入计算;
(2)分两种情况：①当0≤x≤20时，y=y1，②当20<x≤60时，y=y1+y2;并计算分段函数中y≤900时对应的x的取值.
【解答】解：(1)设y1=kx+b，
把(0，1200)和(60，0)代入到y1=kx+b得：
解得 ，
∴y1=﹣20x+1200
当x=20时，y1=﹣20×20+1200=800，
(2)设y2=kx+b，
把(20，0)和(60，1000)代入到y2=kx+b中得：
解得 ，
∴y2=25x﹣500，
当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，
当20<x≤60时，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，
y≤900，则5x+700≤900，
x≤40，
当y1=900时，900=﹣20x+1200，
x=15，
∴发生严重干旱时x的范围为：15≤x≤40.
【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式：设直线解析式为y=kx+b，将直线上两点的坐标代入列二元一次方程组，求解;注意分段函数的实际意义，会观察图象.
27.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.
(1)求证：MH为⊙O的切线.
(2)若MH= ，tan∠ABC= ，求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)连接OH、OM，易证OH是△ABC的中位线，利用中位线的性质可证明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，从而可知MH是⊙O的切线;
(2)由切线长定理可知：MH=HC，再由点M是AC的中点可知AC=3，由tan∠ABC= ，所以BC=4，从而可知⊙O的半径为2;
(3)连接CN，AO，CN与AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切线可知AO⊥CN，利用等面积可求出可求得CI的长度，设CE为x，然后利用勾股定理可求得CE的长度，利用垂径定理即可求得NQ.
【解答】解：(1)连接OH、OM，
∵H是AC的中点，O是BC的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH与△MOH中，
，
∴△COH≌△MOH(SAS)，
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是⊙O的切线;
(2)∵MH、AC是⊙O的切线，
∴HC=MH= ，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC= ，
∴ = ，
∴BC=4，
∴⊙O的半径为2;
(3)连接OA、CN、ON，OA与CN相交于点I，
∵AC与AN都是⊙O的切线，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO= ，
∵ AC•OC= AO•CI，
∴CI= ，
∴由垂径定理可求得：CN= ，
设OE=x，
由勾股定理可得：CN2﹣CE2=ON2﹣OE2，
∴ ﹣(2+x)2=4﹣x2，
∴x= ，
∴CE= ，
由勾股定理可求得：EN= ，
∴由垂径定理可知：NQ=2EN= .
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，切线的判等知识内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.
28.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：u2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”.xkb1
(1)求抛物线C2的解析式.
(2)点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值.
(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(﹣1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在求出点M的坐标，不存在说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值;
(2)设A(a，﹣a2+2a+3).则OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值;
(3)连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.接下来证明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=B′D，设点M的坐标为(1，a).则用含a的式子可表示出点B′的坐标，将点B′的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标.
【解答】解：(1)∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣﹣2(x﹣1)2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4).
∵抛物线C1：与C2顶点相同，
∴ =1，﹣1+m+n=4.
解得：m=2，n=3.
∴抛物线C2的解析式为u2=﹣x2+2x+3.
(2)如图1所示：
设点A的坐标为(a，﹣a2+2a+3).
∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣(a﹣ )2+ .
∴当a= 时，AQ+OQ有最大值，最大值为 .
(3)如图2所示;连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.
∵B(﹣1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2.
∵∠BMB′=90°，
∴∠BMC+∠B′MD=90°.
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90°.
∴∠MB′D=∠BMC.
在△BCM和△MDB′中， ，
∴△BCM≌△MDB′.
∴BC=MD，CM=B′D.
设点M的坐标为(1，a).则B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2.
∴点B′的坐标为(a﹣3，a﹣2).
∴﹣(a﹣3)2+2(a﹣3)+3=a﹣2.
整理得：a2﹣7a﹣10=0.
解得a=2，或a=5.
当a=2时，M的坐标为(1，2)，
当a=5时，M的坐标为(1，5).
综上所述当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上.
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B′的坐标是解题的关键.