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极限思想史

历史教案 时间:2020-08-07

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极限思想的历史
篇一:极限思想史

极限思想的产生、发展与完善

2009-06-26 12:17 来源: 作者: 网友评论 0 条 浏览次数 202

【摘要】 极限思想把对立统一的关系刻画得淋漓尽致,

这种充满哲理的辩证关系对指导我们的工作、学习与科研都有着积极的意义.极限理论是微积分的重要理论基础,之后的导数、微分与积分等概念都是在此基础上推导出来的,如此重要的思想是怎么产生的呢?本文较详细地作了介绍.

【关键词】 极限 微积分 无限趋近 变量

一、极限思想的产生

与一切科学的思想方法一样,极限思想也是社会实践的产物. 极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽,但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题. 直到公元3世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”. 他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域. 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.

刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”,而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题,放弃了归谬法的证明. 如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念.

二、极限思想的发展极限思想史。

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的. 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已无法解决,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展、建立微积分的社会背景. 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分,后来因遇到了逻辑困难,所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想. 牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的,因而他无法得出极限的严格表述.

正因为当时缺乏严格的极限定义,微积分理论才受到了人们的怀疑与攻击. 英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈,他说微积分的推导是“分明的诡辩”.贝克莱之所以激烈地攻击微积分,一方面是为宗教服务,另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础,连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱. 这个事实表明,弄清极限概念,建立严格的微积分理论基础,不但是数学本身所需要的,而且有着认识论上的重大意义.

三、极限思想的完善

极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里,微积分理论基础的问题,许多人都曾尝试解决,但都未能如愿以偿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量,而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚;对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解;对有限和无限的对立统一关系还不明确. 这样,人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法,就不能适应变量数学的新需要,仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系.

首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺,波尔查诺的思想是有价值的,但关于极限的本质他仍未说清楚. 到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在《分析教程》中指出,“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值. 特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”. 柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于零.

柯西试图消除极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义. 但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度. 为了排除极限概念中的直观痕迹,维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义,给微积分提供了严格的理论基础. 所谓an = A,就是指,“如果对任何ε > 0,总存在自然数N,使得当 n > N时,不等式|an - A| < ε恒成立”. 这个定义,借助不等式,通过ε和N之间的关系,定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系. 因此,这样的定义是严格的,可以作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中使用. 在该定义中,涉及的仅仅是数及其大小关系,此外只是给定、存在、任取等词语,已经摆脱了“趋近”一词,不再求助于运动的直观.

浅谈极限思想
篇二:极限思想史

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浅谈极限思想

作者:陶茂恩

来源:《今日湖北·下旬刊》2014年第01期

摘 要 极限思想谈的是数学中的思维问题,它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。本文以数学发展史为基础,从一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展,主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题和函数极限概念小结极限思想应用的举例。 关键词 极限 函数 导数

所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。

一、极限思想的产生与发展

1、极限思想的由来

与一切科学的思想方法一样,极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代,刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”,而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归缪法的证明。如此,他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

2、极限思想的发展

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已无法解决,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分,后来因遇到了逻辑困难,所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度,让无限趋近于零,得到物体的瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性,试图以极限概念作为微积分的基础,他说:“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终止前互相靠近,使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的,因而他无法得出极限

极限思想毕业论文
篇三:极限思想史

分 类 号: 单位代码:10452

极限思想史。

临沂大学理学院

毕业论文(设计)

极限思想的产生与发展

姓 名

学 号

年 级

专 业 数学与应用数学 系 (院) 理学院 指导教师

2012年12月17日

摘 要

极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的,极限思想的应用无处不在,理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究,并对其在数学分析中的应用展开探索。

关键词:极限思想;产生;发展;完善;应用极限思想史。

ABSTRACT

Limit thought is the basic ideas of calculus in mathematical analysis, a series of

limportant concepts, such as the continuity of a function, derivative and definite integral are defined with the help of limit thought. Limit thought application everywhere, understand and grasp and reasonable application of limit thought, can let us in the process of solving practical problems, can quickly find the methods to solve the problems, to enhance the actual effect. This paper focuses on the ultimate idea generation and development research, and its applicationin inmathematical analysis explores.

Key words: Limit thought;geneeration;development;perfection;application

目 录

1.引言 ............................................................................................................................ 1 2. 极限思想的产生与发展 ........................................................ 错误!未定义书签。 2.1 极限思想的产生 ............................................................... 错误!未定义书签。 2.2极限思想的发展 .................................................................................................. 2 2.3极限思想的完善 .................................................................................................. 3 2.4极限思想的概念 ................................................................ 错误!未定义书签。极限思想史。

3. 极限思想的应用 ...................................................................................................... 5 3.1极限思想在概念里的渗透 .................................................................................. 6 3.2极限思想在导数中的应用 .................................................................................. 6 3.3极限思想在积分中的应用 .................................................................................. 7 4.总结 ......................................................................................................................... 8 致 谢 ......................................................................................................................... 9

1.引言

极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数等等都是借助于极限来定义的。同时极限思想是微积分的基本思想,是微分与积分的基础, 贯穿整个微积分的内容。 理解并掌握好其中极限的重要思想, 可以让我们在解决实际问题的过程中, 能较快发现解决问题的方法, 提高实际效果。

2.极限思想的产生与发展 2.1极限思想的产生

与一切科学的思想方法一样,极限思想也是社会实践的产物。关于极限思

想的起源,应追溯到公元前490年的古希腊的著名哲学家芝诺提出的阿基里斯悖论,阿基斯悖论的意思是说,古代神话中有一位跑得最快的人叫阿基里斯,他永远追不上爬得很慢的乌龟,阿基里斯的速度远大于乌龟,但乌龟比阿基里斯先行一段距离AB,阿基里斯在A点起跑,乌龟在B点起跑。当阿基里斯跑到B点时,乌龟已爬到B1点;当阿基里斯跑到B1点时,乌龟已爬到B2点;当阿基里斯跑到B2点时,乌龟已爬到B3点??如此继续下去,以至于阿基里斯永远也追不上乌龟。这样提出问题,其结论显然与我们的直觉相悖,并且不难用初等数学的方法求出追赶时间和路程,从而对芝诺的悖论给予反驳:阿基里斯一定能追上乌龟!然而芝诺把这样一个直觉上都不会产生怀疑的简单问题与无限纠缠在一起,由于长期以来人们对与无限有关的极限概念缺乏深刻地认,因而不能用辩证的观点解答芝诺的疑难,这不仅给当时的数学家和哲学家提出了诘难,而且也使两千余年内的智者、哲人伤透了脑筋,使一代一代的数学家争论不休,以至于不得不把“无限”这个怪物排除在数学之外,直至19世纪,当反映变量无限变化的极限理论建立之后,才可用极限理论回答芝诺的挑战。这是极限思想的萌芽。

在我国极限的观念,早在刘徽之前的春秋战国时代就已产生了。春秋战国时期,由于各种学说创形成了一个百家争鸣的局面,不止有唯心主义学说,也有朴素的唯物主义学说,还有不少关于逻辑学,物理学,天文发及数学的片断记载。在《庄子·天下篇》里就记载着惠施关于数学的一些论说,如:

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。随着天数的增多,所剩下的木棒越来越短,截取量也越来越小,无限地接近于0,但永远不会等于0。这更是从直观上体现了极限思想。

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