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矢量分析与场论推导
篇一:sin曲线,推导
矢量分析与场论
矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广,主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具,研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习,可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具,并初步接触到算子的概念及其简单用法,为以后学习有关专业课程和解决实际问题,打下了必要的数学基础。 第1章 矢量分析
在矢量代数中,曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量,这种矢量称为常矢。然而,在科学和技术的许多问题中,也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量,这种矢量称为变矢。如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。变矢量是矢量分析研究的重要对象。本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。 1.1 矢函数
与普通数量函数的定义类似,我们引进矢性函数(简称矢函数)的概念,进而结出矢函数的极限与连续性等概念。 1、矢函数的概念
定义1.1.1 设有数性变量t和变矢A,如果对于t在某个范围D内的每一个数值,A都以一个确定的矢量和它对应,则称A为数性变量t的矢量函数,记作
A=A(t) (1.1.1)
并称D为矢函数A的定义域。
在Oxyz直角坐标系中,用矢量的坐标表示法,矢函数可写成
A(t)??Ax(t),Ay(t),Az(t)? (1.1.2) 其中Ax(t),Ay(t),Az(t)都是变量t的数性函数,可见一个矢函数和三个
有序的数性函数构成一一对应关系。即在空间直角坐标系下,一个矢
函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量,所以,以后总可以把A(t)的起点取在坐标原点。这样当t变化时,A(t)的终点M就描绘出一条曲线l(图1.1),这样的曲线称为矢函数A(t)的矢端曲线,也称为矢函数A(t)的图形。同时称(1.1.1)式或(1.1.2)式为此曲线的矢量方程。愿点O也称为矢端曲线的极。
由于终点为M(x,y,z)的矢量对于原点O的矢径为
r??xi?yj?zk
当把A(t)的起点取在坐标原点时,A(t)实际上就成为其终点M(x,y,z)的矢径,因此A(t)的三个坐标Ax(t),Ay(t),Az(t)就对应地等于其终点M的三个坐标x,y,z,即
x?Ax(t),y?Ay(t),z?Az(t) (1.1.3) 此式就是曲线l的参数方程。
只是模变化而方向不变的矢量,它的矢端曲线是通过记得射线。只改变方向而模不变的矢量,它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。
2、矢函数的极限和连续性
定义1.1.2 设矢函数A(t)在点to的某个领域内有定义(但在to处可以无定义),A0为一常矢。若对于任意给定的正数?,都存在一个正数?,
使当t满足0?t?t0??时,就有 |A(t)-A0|< ?
成立,则称A0为A(t)当t?t0时的极限,记作
lt?itmA(t)=A0 (1.1.4)
矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。如
limu(t)A(t)=limu(t)·
limA(t) (1.1.5) t?t0
t?t0
t?t0
limt?t[A(t)?B(t)]=lim?tA(t)?limB(t) (1.1.6)
t0
t?t0
limt?t[A(t)·B(t)]=lim?tA(t)·
limB(t) (1.1.7) 0
t0
t?t0
limt?t[A(t)×B(t)]=lim?tA(t)×limB(t) (1.1.8) 0
t0
t?t0
其中u(t)为数性函数,A(t),B(t)为矢函数;且t?t0时,u(t),A(t),B(t)的极限均存在。 若设
A(t)= Ax(t)i+ Ay(t)j+Az(t)k 则由法则(1.1.6)与(1.1.5)有
limt?tA(t)=limA0
t?t0
x(t)i+limt?tA0
y(t)j+limt?tA0
z(t)k (1.1.9)
即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。 定义1.1.3 若矢函数A(t)在to的某个邻域内有定义,且有
limt?tA(t)=A(t0) (1.1.10)
则称A(t)在t?t0处连续。
即矢函数A(t)在to处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数
Ax(t),Ay(t),Az(t)都在to处连续。
若矢函数A(t)在某个区间内的每一点处都连续,则称函数A(t)在该区间内连续。或称A(t)是该区间内的连续函数。
1.2 矢函数的导数与微分
矢函数的微分法是矢量分析的重要内容,在空间直角坐标系中,一个矢量与三个数量(坐标)构成一一对应关系,因而矢函数也有类似于数性函数的导数,微分概念及运算法则。 1、矢函数的导数
设有起点在原点O的矢函数A(t),当数性变量t在其定义域内从t变到
t?(?t?0)时,对应的矢量分别为
A(t)?OM A(t??t)? 如图1.2.1,则
A(t??t)?ON-A(t)=MN
称为矢函数A(t)的增量,记作?A(t),即
?A(t)=A(t??t)- A(t) (1.21.)
据此,我们给出矢函数的导数定义。
定义1.2.1 设矢函数A(t)在点t的某一个邻域内有定义,并设t??t也在这邻域内,若A(t)对应于?t的增量?A(t)与?t之比
?A(t)A(t??t)?A(?t?t)
?t
当?t?0时,其极限存在,则称此极限为矢函数A(t)在点t处的导数(简称导矢),记作
dA(t)
dt
,或A?(t),即 dA(t)?dt?limA(t)?t?0?t?limA(t??t)?A(t)
?t?0?t
(1.2.2) 若A(t)?Ax(t)i?Ay(t)j?Az(t)k,且函数Ax(t),Ay(t),Az(t)在点t可导,则有
dA(t)dt
?lim?A(t)
?t?0?t?lim?Ax(t)?Ay(t)?A(t)
?t?0?ti?lim?t?0?tj?limz?t?0?t
k ?dAxdAydA
dti?dtj?zdt
k即
A?(t)?A?x(t)i?A?y(t)j?A?z(t)k (1.2.3) 矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。 例 1.2.1 已知r?(t)?etcosti?etsintj?etk,求导矢r?(t)。 解
r?(t)?(etcots)?i?(etsint)?j?etk
?et
(cots?sint)i?et
(sitn?cots)j?et
k
例 1.2.2 设e(?)?cos?i?sin?j,e1(?)??sin?i?cos?j
证明e?(?)?e1(?),e1?(?)??e(?),及e(?)?e1(?) 证
e?(?)?(cos?)?i?(sin?)?j
??sin?i?cos?j
?e1(?)
e1
?(?)?(?sin?)?i?(cos?)?j??cos?i?sin?i
??e(?)又
e(?)?e1(?)
?cos?(?sin?)?sin?cos??0
所以e(?)?e1(?)。
容易看出,e(?)为一单位矢量,故其矢端曲线为一单位圆,因此e(?)又叫圆函数;与之相伴出现的e1(?)亦为单位矢量,其矢端曲线亦为单位圆,如图1.2.2。
2、导矢的几何意义
如图1.2.1,设l为A(t)的矢端曲线,
?A(t)
?t
是l的割线MN上的一个矢量。当?t?0时,其指向与?A(t)一致,指向对应t值增大的一方;当
?t?0时,其指向与?A(t)相反,如图1.2.3,但此时?A(t)指向对应t值
减少的一方,从而
?A(t)
?t
仍指向对应t值增大的一方。 当?t?0时,由于割线MN绕点M转动,且以点M处的切线为其极限位置,此时,割线上矢量
?A(t)
?t
的极限位置,也就在此切线上,这就是说,导矢
A?(t)?lim?A(t)
?t?0?t
当其不为零时,是在点M处的切线上,且方向恒指向对应t值增大的一方。因此,导矢在几何上为一矢端曲线的切向量,指向对应t值增大的一方。
3、矢函数的导数公式
设矢函数A(t)、B(t)及数性函数u(t)在t的某范围内可导,则在该范围内成立下列公式
(1)d
dt(C)?0 (C为常矢);
(2)ddt(A?B)?dAdt?dB
dt;
(3)ddt(kA)?kdAdt口否认 (k为常数);
(4)ddudt(uA)?dtA?udA
dt;
(5)ddt(A?B)?A?
dBdt?dA
dt?B; 特别ddtA2?2A?dAdt
,(其中A2?A?A);
(6)
ddt(A?B)?A?dBdt?dAdt
?B; (7)复合函数求导公式:若A?A(u),u?u(t),则
dAdAdt?dududt
这些公式的证明方法,与微积分中数性函数的类似公式的证法完全相同。例如(6)的证法如下
?(A?B)?(A??A)?(B??B)?A?B
?A?B?A??B??A?B
??A??B?A?B
?A??B??A?B??A??B
以?t除上式两端,有 ?(A?B)?t?A??B?t??A?B
?t?B??A??t 再令?t?0,求极限可得 d(A?B)dt?A?dBdA
dt?dt
?B 例 1.2.3 证明定长矢量与其导矢互相垂直。 证 假定|A(t)|?常数,则有
A(t)?A(t)?|A(t)|2?常数 两端对t求导,得
2A(t)?dA(t)
dt?0
这说明矢量A(t)与dA(t)
dt
的数量积等于零,而这只有两者互相垂直时才有可能,故
A(t)?
dA(t)
dt
反之,若有A?dA
dt
?0, 则有
ddt
A2
?0, 从而 A2?|A|2?常数。 所以 |A|?常数。
由此可得,矢函数A(t)模不变的充要条件是A?dA?0
dt
。 特别,对于单位矢量A0(t)有
dA0
A?dt
利用矢量的可分解性:现说明A?(t)的一个性质,因为A?|A|A0,A为t
的函数,A0是A方向上的单位矢量,所以A的导数为sin曲线,推导。
dAd|A|0
dt?dtA0?|A|dAdt
(1.2..4)dA0
因为dt垂直于单位矢量A0(t),也就垂直于A(t),于是式(1.2.4)中
的第一项d|A|0
dtA0平行于矢量A,第二项|A|dAdt
垂直于矢量A。 即
dA
dt
可分解为分别为与A平行和垂直的两个分矢量的和。 4、矢函数的微分
(1)微分的概念与几何意义
定义1.2.2 设A?A(t)为一矢函数,则
dA?A??(t)dt (dt??t) (1.2.5)
为A(t)在t处的微分。
由于微分dA是导矢A?(t)与增量?t的乘积,所以它是一个矢量,而且和导矢A?(t)一样,也在点M处与A(t)的矢端曲线l相切,其指向随dt的符号而改变。当dt?0时,与A?(t)的方向一致;当dt?0时,则与
A?(t)方向相反,如图1.2.4。
微分dA的坐标表示式,可由(1.2.3)式求得,即
dA?A??(t)dt
?A?x(t)i?A?y(t)j?A?z(t)k?
dt
?A?x(t)dti?A?y(t)dtj?A?x(t)dtk
或
dA?dAxi?dAyj?dAzk (1.2.6) 例 1.2.4 设r(?)?acos?i?bsin?j,求dr及|dr|。 解
计算图形学推导作图
篇二:sin曲线,推导
四、推导题(共10分)
22
b2x2 ?a2 y2?1. 用Bresenham算法生成椭圆 F (x,y )? ab ? 0 时,若:
在第一象限上半部分误差项递推公式为:
?d1?b2(2xi?3),d1?0
d1??22
d1?0?d1?b(2xi?3)?a(?2yi?2),
下半部分的递推公式为:
?d2?b2(2xi?2)?a2(?2yi?3)d2?0
d2 ??
d2?a2(?2yi?3),d2?0?
当 2(x i?1 )?a 2(yi ?0. 5)时,说明从椭圆的上半部分转入下半部分。 b
请写出画整个椭圆的算法步骤。
1.答:算法步骤如下:
1).输入椭圆的长半轴a和短半轴b。
2).计算初始值d=b2+a2(-b+0.25)、x=0、y=b。
3).绘制点(x,y)及其在四分象限上的另外三个对称点。
4).判断d的符号。若d≤0,则先将d更新为d+b2(2x+3),再将(x,y)更新为(x+1,y);否则先将d更新为d+b2(2x+3)+a2(-2y+2),再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。 5).当b2(x+1)<a2(y-0.5)时,重复步骤3和4。否则转到步骤6。 6).用上半部分计算的最后点(x,y)来计算下半部分中d的初值:
d?b2(x?0.5)2?a2(y?1)2?a2b2
7).绘制点(x,y)及其在四分象限上的另外三个对称点。
8).判断d的符号。若d≤0,则先将d更新为b2(2xi+2)+a2(-2yi+3),再将(x,y)更新为(x+1,y-1);否则先将d更新为d+a2(-2yi+3),再将(x,y)更新为(x,y-1)。 9).当y>0时,重复步骤7和8。否则结束。
1.写出正二测投影变换矩阵,确定变换矩阵中的参数,并给出详细步骤。 答案: 正轴测投影变换矩阵的一般形式:
X轴上的单位矢量[1 0 0 1]变换后为:
[x‘ y’ z‘ 1] = [1 0 0 1]T = [cosθ 0 -sinθsinφ 1]
Y轴上的单位矢量[0 1 0 1]变换后为:
[x‘ y’ z‘ 1] = [1 0 0 1]T = [-sinθ 0 -cosθsinφ 1] Z轴上的单位矢量[0 0 1 1]变换后为:
[x y z 1] = [0 0 1 1]T = [0 0 cosφ 1] 则三个方向的变形系数分别为:
?cos? 0 -sin?sin? 0?
?-sin? 0 -cos?sin? 0?
?T??
? 0 0 cos? 0???
0 0 1?? 0
假定Y轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2,即取Y轴的变形系数恒为1/2: 222
可得:θ=20。42
‘, φ=19 。28’。
五、作图题(共20分)
用Bresenham算法生成直线段。
要求:根据已知条件,先列出计算式算出各点的坐标值,然后在下面的方格中标出各点(用“●”)。
(0,0)已知:线段的起点(0,0),终点(-6,-4)
解:
?y|?4?0|4
???1以X方向计长?x?6?06
?x6
走步数k???6共走6步 ?t1
是第三象限的线段?
?xi?1?xi?1 ?
?yi,r?1?(xi?1)?0 ?
?yi?1???(xi?1)?0?yi,r ?
初值:i?0,x0?0,y0?0,取点(0,0)
第一步:i?1,?(x1)?2?y??x?8?6?2?0 x1?x0?1?1,y1?y0?1??1取点(?1,?1)
第二步:i?2,?(x2)??(x1)?2?y?2?x?2?8?12??2?0
x2?x1?1?2,y2?y1??1取点(?2,?1)
第三步:i?3,?(x3)??(x2)?2?y??2?8?6?0
x3?x2?1?3,y3?y2?1??3取点(?3,?2)
sin??cos?sin??1/4
第四步:i?4,?(x4)??(x3)?2?y?2?x?6?8?12?2?0
x4?x3?1??4,y4?y3?1??3,
取点(?4,?3)
第五步:i?5,?(x5)??(x4)?2?y?2?x?2?8?12??2?0
x5?x4?1??5,y5?y4??3,取点(?5,?3)
第六步:i?6,?(x6)??(x5)?2?y??2?8?6?0
x6?x5?1??6,y6?y5?1??4,取点(?6,?4)
(0,0)
(1)确定计长方向及走步数; (2分) (2)算出误差值,正确取点; (16分) (3)在方格图中正确标出各点; (2分) (4)若在各点之间连线,扣1分。
已知一直线段起点(2,10),终点(8,2),利用Bresenham算法生成此直线段,写出生成过程中坐标点及误差ε的变化情况。并在下面的方格中,标出直线上各点 解:
2?108?Y???1 以Y方向计长 ?X?26
走步数C=8
∵是第四象限方向
?yi?1?yi?1???(xi?1)?0?xi,r?1x??i?1??(xi?1)?0?yi,r?
C=8 x0= 2,y0=10,取点(2,10)
C=7 ε(x1)= 2△X-△Y=12-8=4>0 x1= x0+1=3,y1= y0-1=9 取点(3,9) C=6 ε(x2)=ε(x1)+2△X-2△Y =4+12-16=0 x2= x1+1=4,y2= y1-1=8 取点(4,8) C=5 ε(x3)=ε(x2)+2△X-2△Y=0+12-16=-4<0 x3= x2=4,y3= y2 -1=7 取点(4,7) C=4 ε(x4)=ε(x3)+2△X =-4+12=8 x4= x3+1=5,y4= y3-1=6 取点(5,6) C=3 ε(x5)=ε(x4)+2△X-2△Y=8+12-16=4>0 x5= x4+1=6,y5= y4-1=5 取点(6,5)
C=2 ε(x6)=ε(x5)+2△X-2△Y =4+12-16=0 x6= x5+1=7,y6= y5-1=4 取点(7,4) C=1 ε(x7)=ε(x6)+2△X-2△Y==0+12-16=-4<0 x7= x6-=7,y7= y6-1=3 取点(7,3) C=0 ε(x8)=ε(x7) +2△X =-4+12=8 x8= x7+1=8,y8= y7-1=2 取点(8,2) 确定计长方向及走步数: 2分 算出误差值,正确取点: 16分 在方格图中正确标出各点: 2分 若在各点之间连线,扣2分
用Bresenham算法生成直线段。
要求:根据已知条件,先列出计算式算出各点的坐标值,然后在下面的方格中标出各点(用“●”)。
已知:线段的起点(0,0),终点(6,5)
(0,0)sin曲线,推导。
解:起点坐标为(0,0),终点坐标为(6,5) △y =y2-y1=5, △x=x2-x1=6 m = △y / △x=6/5
d1 = y - yk = m ( xk+ 1) - yk
d2 = ( yk + 1 ) - y =(yk + 1)- m ( xk + 1 )
那么d1-d2 = 2m ( xk + 1 ) - 2yk – 1
将 m = △y / △x, △y =y2-y1, △x=x2-x1带入
令pk = △x ( d1 - d2 ) = 2△y . xk - 2△x . yk+ c =12 . xk-10. yk+7
(其中c=2 △y- △x)
又有 pk+1 =2△y . xk+1 - 2△x. yk+1+ c=12 . xk+1-10. yk+1+7 所以pk+1 - pk = 2△y (xk+1 - xk ) - 2△x (yk+1 - yk )
if pk <0 , d1 - d2 <0 ,取右方象素,有 yk+1= yk ,
则 pk+1 = pk + 2△y
if pk >=0, d1 - d2 >=0,取右上方象素,有 yk+1= yk + 1,
yk+1 - yk = 1,则 pk+1 = pk + 2△y - 2△x
第一点为(0,0) 所以 pk=7>0 第二点为 (1,1) 第二点为(1,1) 所以 pk= 5>0 第三点为(2,2) 第三点为(2,2) 所以 pk=3>0 第四点为(3,3) 第四点为(3,3) 所以 pk=1>0 第五点为(4,4) 第五点为(4,4) 所以 pk=-1<0 第六点为(5,4) 第六点为(5,4) 所以 pk=-3<0 第七点为(6,5)
用Bresenham算法生成直线段。要求根据已知条件,先列出计算式算出各点的坐标值,然后在下面的方格中标出各点(用“●”)。
已知:线段的起点(0,0),终点(-8,4)
给定顶点P0P1P2P3P4构成的控制多边形,绘出二次B样条曲线的形状示意图。
要求:简要说明作图过程,保留作图辅助线,作出(或文字说明)曲线上各特征点的切线矢量。
2
p0
3
p1
p4
正确绘制曲线 8分
画出以P0P1P2 决定的地0段3次样条曲线:
A为P0P1的中点,B为P1P2的中点,C为AB连线的中点与P1连线的中点,该段曲线起点为A点,终点为B点,并在1/2处过C点;A点的切矢为P1-P0,B点的切矢为P2-P1,C点的切矢平行于P2-P0,且等于P0P2的1/2。
正确标出A、B、D三点 3分 指出A、B、D三点的切矢 3分
以同样的方法画出:以P1P2 P3决定的地3段1次样条曲线 1分
给定顶点P0P1P2P3P4P5P6构成的控制多边形,绘出三次B样条曲线的形状示意图。
要求:简要说明作图过程,保留作图辅助线,作出(或文字说明)曲线上各特征点的切线
P6
P0
曲线的参数方程
篇三:sin曲线,推导
曲线的参数方程
教学目标:
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。
2.分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。 3.会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。 教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。 教学过程
一.参数方程的概念 1.探究:
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行,为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面(不计空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢?
(1)平抛运动:
?x?100t
?
?12(t为参数)
y?500?gt?2?
一、方程组有3个变量,其中的x,y表示点的坐标,变量t叫做参变量,而且x,y分别是t的函数。 二、由物理知识可知,物体的位置由时间t唯一决定,从数学角度看,这就是点M的坐标x,y由t唯一确定,这样当t在允许值范围内连续变化时,x,y的值也随之连续地变化,于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。
练习:斜抛运动: ?x?v0cos??t?
?12(t为参数)
y?vsin??t?gt0?2?
2.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x?f(t)
{.........................(2)y?g(t)
并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。
(2)参数是联系变量x,y的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。
?x?3t
例1.已知曲线C的参数方程是? (t为参数) 2
?y?2t?1
(1)判断点M1(0,1),M2(5,4)与曲线C的位置关系; (2)已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。
?x?sin?2、方程(?为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是?
?y?cos2?
1111
(2,7),B(,,C(,),D(1,0) A、
3222
3、由方程x2?y2?4tx?2ty?5t2?4?0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是
A、一个定点 B、一个椭圆 C、一条抛物线 D、一条直线
二.圆的参数方程
如果在时刻t,点M转过的角度是?,坐标是
M(x,y),那么?=?t,设OMr,那么由三 角函数的定义有: x?rcos?txycos?t?,sin?t?即{(t为参数) y?rsin?trr 这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方
程。其中参数t有明确的物理意义(质点作匀
速圆周运动的时刻)
?x?rcos?t?
?y?rsin?t
(t为参数)
?x?rcos? ?
?y?rsin?
这也是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程
其中参数?的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转 到OM的位置时,OM0转过的角度。
考虑到?=?t,也可以取?为参数,于是有x?rcos?{(?为参数)y?rsin?
(?为参数)
圆的参数方程的一般形式 x?x0?rcos?以上是圆心在原点的圆的参数方程,它对应的{(?为参数) y?y?rsin?0222
?普通方程是x?y?r,那么,圆心在点o(x,y)00
对应的普通方程为(x?x0)2?(y?y0)2?r2
半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢?说明:
(1)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。 (2)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。
三.参数方程和普通方程的互化
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参数方程。 解: x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程, (x+1)2+(y-3)2=1,
?x??1?cos?
∴参数方程为 ? (θ为参数)
?y?3?sin?
?x?2cos??52、指出参数方程(?为参数)所表示圆的圆心坐标、半径,并化