两条直线的关系小结与复习

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直线方程小结复习
篇一:两条直线的关系小结与复习

枣庄三中2012-2013学年第一学期高一数学教案

直线与方程小结与复习

重点：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．

3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．

4．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．

5．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．

难点：选择恰当的方法研究两直线平行垂直的条件、直线方程的应用及点到直线的距离． 能力点：培养学生的创新精神及应用能力并且帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法． 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认知结构． 自主探究点：例题及变式的解题思路探寻．

易错点：忽略倾斜角90，直线斜率k不存在的情况和判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．

易混点：正确区分直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式与一般式的形式和用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．

拓展点：运用直线系方程解决相关问题的方法和中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．



学法与教具

1． 学法：探究法、讨论法 ．2．教具：多媒体、投影仪、三角板． 一、【知识结构】

二、【知识梳理】 1.直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，

他们的关系是ktan（900). （2）直线倾斜角的范围是[0,180).

k（3）直线过P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)两点的斜率公式为：

2.两直线垂直与平行的判定

（1）对于不重合的两条直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，，则有：

y2y1

(x1x2).

x2x1

l1//l2k1k2；l1l2k1k21.

（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 平行 ；当一条直线斜两条直线的关系小结与复习。

率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 垂直 .

4.两直线相交

交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方

A1xB1yC10程组的解一一对应．

AxByC0222

相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组________；重合方程组有______________．

5.几个距离公式 （1）两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式是：

(x2x1)2(y2y1)2. |P1P2|

（2）点P(x0,y0)到直线l:AxByc0的距离公式是：d（3）两条平行线l:AxByc10,l:AxByc20间的

距离公式是：d三、【范例导航】

例1 已知坐标平面内三点A(1,1),B(1,1),C(2,31).

（1）求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角.

（2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率为k的变化范围. 【分析】由题目可获取以下主要信息：（1）A、B、C三点的坐标已知.（2）直线CD经过线段AB上的某个动点.（3）求斜率及变化范围. 解答本题可借助图形，第（1）问利用斜率公式求斜率，由斜率与倾斜角的关系求倾斜角. 第（2）问可借助图形直观观察得直线CD斜率k的取值范围.

解：（1）由斜率公式得

|Ax0By0c|

AB

2两条直线的关系小结与复习。

2

.

|c1c2|AB

2

2

.

kAB

1111

0,kBC.

1(1)2111300

.在区间0,180范围内. 

2(1)3

kAC



tan000,AB的倾斜角为00.

tan600,BC的倾斜角为600.

tan300

3

,AC的倾斜角为300. 3

如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为

3

,. 3

【点评】数形结合运动变化是解决数学问题的常用思想方法和观点.当直线绕定点由与

x轴平行（或重合）位置按逆时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在）；按顺时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在）.这种方法即可定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围.

变式训练1：已知点A(1,3)，B(2,1)．若直线l:yk(x2)1与线段AB相交，则k的

取值范围是

解析：由已知直线l恒过定点p(2,1)，如右图．若l与线AB相交， 则 ∵kPA2,kPB

kPAkkPB

,

11 ∴2k. 22

例2 求适合下列条件的直线方程：

（1） 过点A(1,3)，斜率是直线y3x的斜率的（2） 经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

（3） 过点A(1,1)与已知直线l1:2xy60相交于B点且AB5．

【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条

件．

【解答】（1） 设所求直线的斜率为k，依题意k

1

； 4

13

3．又直线经过点44

A(1,3)，

由点斜式,得直线方程为y3

3

(x1)，即3x4y150． 4

（2）法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a．

①若a0，则l过点(0,0)和(3,2)，由点斜式，得l的方程为y②若a0，则设l的方程为

2

0．即2x3y x，

3

xy32

1，∵l过点(3,2)，∴1，解得a5， aaaa

∴l的方程为xy50．综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50．

法二：由题意，所求直线的斜率必定存在．设所求直线方程为y3kx2，它在x轴、y轴上的截距分别为2以直线方程为y3

333

、32k，于是232k，解得k或k1，所k2k

3

x2或y3x2，即2x3y0或xy50． 2

x1

x1A(1,1)（3）法一：过点与y轴平行的直线为．解方程组，求得

2xy60

B点坐标为(1,4)，此时AB5，即x1为所求．

设过A(1,1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组

2xy60,

得

y1k(x1),

k7

x,k2

两直线交点为（k2，否则与已知直线平行），则B点坐标为

y4k2,k2k74k2．由已知(k7)2(4k2)252，解得k3，∴y13(x1)，两条直线的关系小结与复习。

(,)

k2k244k2k2

即3x4y10．综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10．

法二：设Ba,62a，由AB5，得a172a25，整理，得

2

2

a26a50，解得a1或a5．由两点式，得直线的方程为x1或3x4y10．

【点评】（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴

垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

（2）求直线方程需要两个条件．当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和第（3）题．

（3）:利用待定系数法设直线方程时可能由于所用方程的形式，设出时就漏掉了斜率不存在的一种情况．解题时一般先考虑特殊情形．

变式训练2：设直线l的方程为(a1)xy2a0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，截距相等， ∴a2，方程即3xy0．若a2，由于截距存在，∴

a2

a2， a1

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